第七章 向量代数与空间解析几何

几何发展简史

略

向量概念

定义：

• 数量，向量，自由向量
• 向量相等，平行
• 共面

向量的线性运算

加法：平行四边形法则

满足：

• 交换律
• 结合律
• 三角不等式：$\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | \leqslant \left | \overrightarrow{a} \right | + \left | \overrightarrow{b} \right | $

数乘

满足：结合律，与加法的分配率
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算。
定理1：$\vec{a} | \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}, \vec{b}$线性相关

直角坐标系

• 横轴，纵轴，竖轴，卦限
• 点与向量一一对应
• 取定坐标系以后，向量与有序数组一一对应
• 有序数组称为点的坐标。
• 利用坐标做向量的线性运算：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\lambda \overrightarrow{a}$

数量积（点乘，内积）

定义：数量积$\vec{a} \cdot \vec{b} \triangleq a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$
满足：

• 交换律，与加法的分配率，与数乘的结合律
• 正定，对称，线性性质

向量的模

$|\vec{a}| \triangleq \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$

• 单位向量

向量的夹角

$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$
定理2：$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$
推论：$\vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$

标准正交基

$V_{3}$ 中三个重要的单位向量: $\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}$
标准正交基 $\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}_{j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & i=j \\ 0 & i \neq j .\end{array}\right.$

两点之间的距离

略

向量 $\vec{a}$ 的方向角与方向余弦

$$\vec{a}=|\vec{a}|(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$$

数量积的几何意义

向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量，记为 $\operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{b}$
$|\vec{b}| \cdot \cos \theta \doteq(\vec{b}) \vec{a}$ 称为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影。投影为数量。
$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \cos \theta: \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影与 $|\vec{a}|$ 的乘积。

计算投影:

$$(\vec{b})_{\vec{a}}=|\vec{b}| \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$$

投影向量:

$$\operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{b}=(\vec{b})_{\vec{a}} \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{a}} \cdot \vec{a} .$$

$\operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{b}$ 对 $\vec{b}$ 满足线性性质。

向量积（叉乘，外积）

• 定义：$\vec{a} \times \vec{b}$，向量，满足三个条件（垂直、右手系、模长 $\left|\vec{a} \times \vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta$ ）

• 行列式表示：

  $$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} & \vec{e}_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$$

• 性质：

  • 反交换律：$\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}$
  • 加法的分配律：$\vec{a} \times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$
  • 数乘的结合律：$(r\vec{a})\times \vec{b}=\vec{a} \times(r\vec{b})=r(\vec{a} \times \vec{b})$
  • 不满足结合律，但满足雅可比恒等式：$\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})+\vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{a})+\vec{c} \times(\vec{a} \times \vec{b})=0$
  • 两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 平行（线性相关），当且仅当 $\vec{a} \times \vec{b}=0$
  • 拉格朗日公式： $$\begin{array}{c} (\vec{a} \times \vec{b})\times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}\\ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \end{array}$$

混合积

• 定义: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \triangleq(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$
• 几何意义: 绝对值表示平行六面体的体积
• 大于$0$表示右手系，小于$0$表示左手系
• 用坐标表示混合积： $$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$$
• 性质
  • 轮换性质
  • 线性性质
  • $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面 $\Leftrightarrow$ $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=0$

向量代数运算性质总结

• 垂直、平行、共面的充要条件
• 投影以及投影向量的计算
• 夹角的引入、向量数量化的方法

平面方程

• 点法式向量方程：$\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right) \cdot \vec{n}=0$
• 点法式方程：$A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0$
• 一般式方程：$A x+B y+C z+D=0$
• 平面的截距式方程：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

• 平面的标准式方程

  $$\left|\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}\right|=0 .$$

• 平面的三点式方程

  $$\left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 .$$

两平面间的夹角

两平面的法线向量的夹角 $\theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 称为两平面的夹角。

$$\begin{aligned} \Pi_{1} \| \Pi_{2} & \Longleftrightarrow \overrightarrow{n_{1}} \| \overrightarrow{n_{2}} \Longleftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}} \\ \Pi_{1} \perp \Pi_{2} & \Longleftrightarrow \overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{n_{2}} \\ & \Longleftrightarrow A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}=0 \end{aligned}$$ $$\cos \theta=\frac{\left|\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$$

点到平面的距离

设点$P_0(x_0,y_0,z_0))$为平面$\Pi: Ax+By+Cz+D=0$外一点，过 $P_0$ 作 $\Pi$ 的垂线，垂足为 $N$，$P_0$ 到 $\Pi$ 的距离 $d\left(P_{0}, \Pi\right) \triangleq\left|N P_{0}\right|$

任取 $\Pi$ 上一点 $P_{1}$，则

$$\begin{aligned} d\left(P_{0}, \Pi\right) &=\left|N P_{0}\right|=\left|\left(\overrightarrow{P_{1} P_{0}}\right) \vec{n}\right| \\ &=\frac{\left|\overrightarrow{P_{1} P_{0}} \cdot \vec{n}\right|}{|\vec{n}|} \\ &=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} . \end{aligned}$$

两平行平面之间的距离

$$\begin{align} \Pi_{1}: A x+B y+C z+D_{1}=0\\ \Pi_{2}: A x+B y+C z+D_{2}=0 \end{align}$$ $$d\left(\Pi_{1}, \Pi_{2}\right)=\frac{\left|D_{2}-D_{1}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$$

直线方程

• 向量式方程：$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_0}+t\overrightarrow{l}$
• 点向式方程（标准式方程）：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$
• 参数式方程：$\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \\ z=z_{0}+p t\end{array}\right.$
• 两点式方程：$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$
• 一般式方程：$\left\{\begin{array}{l}A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0\end{array}\right.\quad \left(\vec{n}_{1} \nparallel \vec{n}_{2}, \vec{l} \parallel \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2}\right)$

上述公式中的 $\vec{l}(m, n, p)$ 称为方向向量； $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为直线上的一个定点。

平面束方程

设直线 $l$ 的方程为：

$$\left\{\begin{array}{l}A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0\end{array}\right.$$

过直线 $l$ 的平面的集合称为平面束。平面束方程为

$$\mu(A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1})+\lambda(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2})=0$$

与两平面相关的直线问题可以考虑选择平面束方程。

两直线的夹角与共面

两直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方向向量之间的夹角 $\phi\left(0 \leqslant \phi \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 称为两条直线的夹角。

$$\vec{s}_{i}\left(m_{i}, n_{i}, p_{i}\right), i=1,2 \quad \cos \phi=\frac{\left|\overrightarrow{s_{1}} \cdot \overrightarrow{s_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{s_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{s_{2}}\right|}$$

两直线的位置关系

$$\begin{array}{l} l_{1}\left\|l_{2} \Longleftrightarrow \overrightarrow{s_{1}}\right\| \overrightarrow{s_{2}} \Longleftrightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}} ; \\ l_{1} \perp l_{2} \Longleftrightarrow \overrightarrow{s_{1}} \perp \overrightarrow{s_{2}} \Longleftrightarrow m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}=0 . \end{array}$$

更一般地，$\forall M_{1} \in l_{1}, M_{2} \in l_{2}$,

$$\begin{array}{rcl} \text{两直线} l_{1}, l_{2} \text{共面} &\Longleftrightarrow& \overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{s_{1}}, \overrightarrow{s_{2}} \text{共面}\\ &\Longleftrightarrow&\left[\overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{s_{1}}, \overrightarrow{s_{2}}\right]=0\\ \text{两直线} l_{1}, l_{2} \text{异面} &\Longleftrightarrow&\left[\overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{s_{1}}, \overrightarrow{s_{2}}\right] \neq 0 \end{array}$$

涉及：异面直线的判断，距离，公垂线问题

两异面直线的距离

任取 $M_{1} \in l_{1}, M_{2} \in l_{2}$，则两异面直线的距离为 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 在 $\overrightarrow{s_{1}} \times \overrightarrow{s_{2}}$ 上投影的绝对值，故

$$d\left(l_{1}, l_{2}\right)=\frac{\left|\left(\vec{s}_{1} \times \vec{s}_{2}\right) \cdot \overrightarrow{M_{1} M_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{s_{1}} \times \overrightarrow{s_{2}}\right|}$$

两异面直线的公垂线

• 令 $l$ 与 $l_1$, $l_2$ 的交点分别为 $p_1,p_2$
• 两垂足可分别表示为 $t_1,t_2$ 参数形式
• 解方程组 $\overrightarrow{p_{1} p_{2}} \perp \vec{s}_{1}, \overrightarrow{p_{1} p_{2}} \perp \vec{s}_{2}$ 得 $t_1,t_2$ ，从而得 $p_1,p_2$
• 写出 $l$ 的方程

直线与平面的夹角

直线与它在平面上的投影直线的夹角 $\varphi(0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2})$ 称为直线与平面的夹角。

$$\sin \varphi=|\cos (\widehat{\vec{s}, \vec{n}})|=\frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot|\vec{n}|}$$ $$l \| \Pi \Longleftrightarrow \vec{s} \perp \vec{n} \Longleftrightarrow \vec{s} \cdot \vec{n}=0$$ $$l \perp \Pi \Longleftrightarrow \vec{s} \| \vec{n} \Longleftrightarrow \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$$

点到直线的距离

• 法一：利用点到直线的距离的定义
  设过 $P_0$ 点垂直于 $l$ 的平面 $\Pi$，与 $l$ 的交点为 $P_1$。 $$d( P_0, l)= d( P_0, P_1)$$
• 法二：利用叉乘的绝对值的几何意义
  任取 $P_{0} \in l$ ，则 $$d\left(P_{1}, l\right)=\frac{\left|\vec{s} \times \overrightarrow{P_{0} P_{1}}\right|}{|\vec{s}|}$$
• 法三：计算垂足
  设直线上一点 $P_0$，直线外一点 $P_1$，则垂足坐标 $$H=P_0+\operatorname{proj}_{\vec{s}} \overrightarrow{P_0 P_1}=P_0+\frac{\overrightarrow{P_0 P_1}\cdot\vec{s}}{\vec{s}\cdot \vec{s}}\vec{s}$$

点、直线、平面之间的位置关系

	点	直线	平面
点	距离	距离	距离
直线		夹角、共面异面、 距离、公垂线	夹角
平面			夹角

公式总结

• 计算垂足： $$H=M_0+\operatorname{proj}_{\vec{s}} \overrightarrow{M_0 M_1}=M_0+\frac{\overrightarrow{M_0 M_1}\cdot\vec{s}}{\vec{s}\cdot \vec{s}}\vec{s}$$
• 点点距离： $$\left|M_{0} M_{1}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{0}\right)^{2}}$$
• 点线距离： $$d\left(M_{1}, l\right)=\sqrt{\left|M_{0} M_{1}\right|^{2}-\left(\frac{\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|} \cdot \overrightarrow{M_{0} M}_{1}\right)^{2}}=\frac{\left|\mathbf{s} \times \overrightarrow{M_{0} M_{1}}\right|}{|\mathbf{s}|}, \quad M_{0} \in l$$
• 点面距离： $$d\left(M_{1}, \pi\right)=\frac{\left|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M}_{1}\right|}{|\mathbf{n}|}, \quad M_{0} \in \pi$$
• 线线距离：
  • 令 $\mathbf{n}=\mathbf{s}_{1} \times \mathbf{s}_{2}$，则 $$d\left(l_{1}, l_{2}\right)=\frac{\left|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{M_{1} M}_{2}\right|}{|\mathbf{n}|}, M_{1} \in l_{1}, M_{2} \in l_{2}$$
  • 若 $\mathbf{s}_{1}=\lambda \mathbf{s}_{2}$ ，则 $$d\left(l_{1}, l_{2}\right)=d\left(M_{1}, l_{2}\right)$$
• 线面距离： $$d(l, \pi)=\frac{\left|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M}_{1}\right|}{|\mathbf{n}|}, M_{0} \in l, M_{1} \in \pi , \text{其中} \mathbf{n} 与 \mathbf{s} \text{垂直}$$
• 线线夹角： $$\theta=\min \left\{\left(\widehat{\mathbf{s}_{1}, \mathbf{s}_{2}}\right), \pi-\left(\widehat{\mathbf{s}_{1}, \mathbf{s}_{2}}\right)\right\}$$
• 线面夹角： $$\theta=|\pi / 2-(\widehat{\mathbf{s}, \mathbf{n}})|$$
• 面面距离： $$d\left(\pi_{1}, \pi_{2}\right)=\frac{\left|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{M_{1} M}_{2}\right|}{|\mathbf{n}|}, \quad M_{1} \in \pi_{1}, M_{2} \in \pi_{2}, \mathbf{n} \text{为两平面共同的法向量}$$
• 面面夹角： $$\theta=\min \left\{\left(\widehat{\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}}\right), \pi-\left(\widehat{\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}}\right)\right\}$$

空间曲面

定义

如果曲面 $S$ 上任一点的坐标满足方程 $F(x,y,z)=0$，而不在曲面 $S$ 上的任一点的坐标都不满足此方程，那么我们称曲面 $S$ 为方程 $F(x,y,z)=0$ 的图形，而 $F(x,y,z)=0$ 称为曲面 $S$ 的方程

二次曲面

由二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
如果两个曲面相交，它们的公共点形成一条曲线，那么该曲线（交线）上的点的坐标同时满足这两个曲面的方程，所以我们将两个相交曲面的联立方程称为曲线的一般式方程，即曲线

$$C:\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$$

是曲面 $S_{1}: F(x, y, z)=0$ 和 $S_{2}: G(x, y, z)=0$ 的交线

椭球面

由方程

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a>0, b>0, c>0)$$

所表示的曲面称为椭球面. $a, b, c$ 称为椭球面的半轴.

• 椭球面关于坐标轴和原点都是对称的
• 若用平行 $xOy$ 坐标平面的平面 $z=h(|h| \leqslant c)$ 截椭球面，则截痕为 $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{h^{2}}{c^{2}} \\ z=h \end{array}\right.$$

球面

若将椭球面的中心置于点 $(x_0,y_0,z_0)$，且 $a=b=c=R$ 时，得到球面方程

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$$

展开后得到三元二次方程

$$x^{2}+y^{2}+z^{2} -2x_{0}x -2y_{0}y -2z_{0}z+\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}\right)-R^{2}=0$$

这是一个仅有系数相等的平方项而没有其他二次项的三元二次方程

• 对任意一个具有这样特点的三元二次方程 $$x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz=G$$ 它表示球面当且仅当……

单叶双曲面

由方程

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a>0, b>0, c>0)$$

所表示的曲面称为单叶双曲面。$a,b,c$ 称为单叶双曲面的半轴。

• 单叶双曲面关于坐标平面是对称的，进而关于坐标轴和原点也是对称的。
• 若用平面 $z=h$ 去截单叶双曲面，所得的截痕为 $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1+\frac{h^{2}}{c^{2}} \\ z=h \end{array}\right.$$ 显然这是一个在平面 $z=h$ 上的椭圆，当 $|h|$ 由 $0$ 逐渐增大时，椭圆也相应增大
• 若用平面 $y=h$ 去截单叶双曲面，所得的截痕为 $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{h^{2}}{b^{2}} \\ y=h \end{array}\right.$$ 这是在平面 $y=h$ 上的双曲线
  • 当 $|h|<b$ 时，双曲线的实轴平行于 $x$ 轴，虚轴平行于 $z$ 轴
  • 当 $|h|=b$ 时，双曲线退化为两相交直线
  • 当 $|h|>b$ 时，双曲线的实轴平行于 $z$ 轴，虚轴平行于 $x$ 轴
• 若用平面 $x=h$ 去截单叶双曲面，得到的也是类似情形的双曲线

双叶双曲面

由方程

$$-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a>0, b>0, c>0)$$

所表示的曲面称为双叶双曲面。$a,b,c$ 称为双叶双曲面的半轴

• 双叶双曲面关于坐标平面、坐标轴以及原点都是对称的
• 若用平面 $z=h$ 去截双叶双曲面，所得的截痕为 $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{h^{2}}{c^{2}}-1, \\ z=h \end{array}\right.$$
  • 当 $|h|<c$ 时，不存在满足方程的点，因此截痕并不存在，这是双叶双曲面与单叶双曲面的主要区别
  • 当 $|h|\ge c$ 并逐渐增大时，截痕是在平面 $z=h$ 上由一个点逐渐增大的椭圆
• 若用平面 $y=h$ 或 $x=h$ 去截双叶双曲面，所得的截痕是实轴平行于 $z$ 轴的双曲线

椭圆抛物面

由方程

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z \quad(a>0, b>0)$$

所表示的曲面称为椭圆抛物面。椭圆抛物面与 $z$ 轴的交点称为它的顶点

• 此曲面位于 $xOy$ 坐标平面上方，而关于 $yOz$ 坐标平面和 $zOx$ 坐标平面都对称，因此也关于 $z$ 轴对称。

双曲抛物面

由方程

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z \quad(a>0, b>0)$$

所表示的曲面称为双曲抛物面

• 双曲抛物面关于 $yOz$ 坐标平面和 $zOx$ 坐标平面都是对称的，从而关于 $z$ 轴对称.
• 用 $z=h$ 去截此曲面，所得截痕为 $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=h, \\ z=h, \end{array}\right.$$ 是平面 $z=h$ 上的双曲线，随着 $h$ 由负到正，双曲线的实轴由平行 $y$ 轴变为平行 $x$ 轴，其间当 $h=0$ 时，双曲线退化成为相交两直线
• 用平面 $y=h$ 去截此曲面，所得截痕为 $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}=z+\frac{h^{2}}{b^{2}}, \\ y=h, \end{array}\right.$$ 是平面 $y=h$ 上顶点在 $\left(0, h,-\frac{h^{2}}{b^{2}}\right)$，开口指向 $z$ 轴正向的抛物线
• 用平面 $x=h$ 去截此曲面所得截痕是指向 $z$ 轴负向的抛物线
• 由于双曲抛物面的形状像一个马鞍，故双曲抛物面也被称为马鞍面

柱面

设 $C$ 是一空间曲线，直线 $l$ 与 $C$ 相交但不与其重合，当 $l$ 平行移动且始终与 $C$ 相交（即平移直线 $l$ 与 $C$ 的交点沿着 $C$ 运动），则动直线 $l$ 移动所形成的曲面称为柱面。曲线 $C$ 称为柱面的准线，$l$ 在平行移动时任一位置所在直线称为柱面的母线
设柱面 $\Sigma$ 的准线 $C$ 为 $xOy$ 坐标平面上的曲线，它的方程为

$$\left\{ \begin{array}{l} F(x, y)=0 \\ z=0 \end{array} \right.$$

柱面的母线 $l$ 平行于 $z$ 轴，则求柱面的方程为

$$F(x, y)=0$$

• 特别地，若准线 $C$ 是坐标平面上的二次曲线，则称相应的柱面为二次柱面

旋转面

曲线 $C$ 绕一条定直线 $l$ 旋转一周所生成的曲面称为旋转面，这条定直线 $l$ 称为旋转面的对称轴。曲线 $C$ 称为旋转面的一条子午线
设旋转面 $\Sigma$ 是由 $yOz$ 坐标平面上曲线

$$C:\left\{ \begin{array}{l} f(y, z)=0 \\ x=0 \end{array} \right.$$

绕 $z$ 轴旋转而成的，则旋转面 $\Sigma$ 的方程为

$$f(\pm \sqrt{x^2+y^2}, z)=0$$

同理, 平面曲线

$$C:\left\{ \begin{array}{l} f(y, z)=0 \\ x=0 \end{array} \right.$$

绕 $y$ 轴旋转所得的旋转面方程为

$$f\left(y, \pm \sqrt{x^{2}+z^{2}}\right)=0$$

锥面

设 $C$ 是一曲线，$M_0$ 是 $C$ 之外的定点，直线 $l$ 过 $M_0$ 点且与 $C$ 相交，当交点沿曲线 $C$ 运动时，则把 $l$ 的轨迹所形成的曲面称为锥面，曲线 $C$ 称为锥面的准线，$l$ 在运动时任一位置所在直线称为锥面的母线，定点 $M_0$ 称为锥面的顶点

设锥面 $\Sigma$ 的顶点为原点，若 $F(x, y, z)$ 是齐次多项式，即

$$F(t x, t y, t z)=t^{n} F(x, y, z)$$

则 $F(x, y, z)=0$ 满足上述锥面方程条件，从而就是顶点在原点的锥面方程

空间曲线

空间曲线的一般式方程为

$$\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array} \right.$$

它是空间两个曲面的交线

空间曲线也常用参数方程来表示，即

$$\left\{ \begin{array}{l} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{array} \right.\quad (t\in [\alpha,\beta])$$

空间曲线在坐标平面上的投影

设 $C$ 是一空间曲线，$\pi$ 为一平面，则将以 $C$ 为准线，母线垂直于 $\pi$ 的柱面 $\Sigma$ 称为曲线 $C$ 对平面 $\pi$ 的投影柱面，$\Sigma$ 与 $\pi$ 的交线称为曲线 $L$ 在平面 $\pi$ 上的投影（或投影曲线）

曲线

$$C:\left\{\begin{array}{l} H(x, y, z)=0\\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$$

在 $xOy$ 坐标平面上的投影为

$$\left\{\begin{array}{l} F(x,y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$$

曲面的参数方程

曲面 $S$ 可以表示为双参数方程

$$S:\left\{\begin{array}{l} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \\ z=z(u, v) \end{array} \quad u \in I_{1}, v \in I_{2}\right.$$

其中 $I_{1}, I_{2}$ 是参数 $u, v$ 分别取值的区间

第八章 多元函数的微分学

n维向量

与 $\mathbf{R}^{3}$ 空间类似, 所有 $n$ 元有序数组 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的集合在赋予了加法和数乘运算后称为 $n$ 维线性空间, 记为 $\mathbf{R}^{n}$;$\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 称为 $n$ 维向量, 常记为

$$\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$$

其中 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 称为向量 $\boldsymbol{x}$ 的坐标或分量; 而定义

$$\|\boldsymbol{x}\|=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

为向量 $\boldsymbol{x}$ 的模.

$$d(P,Q)=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\cdots+(y_n-x_n)^2}$$

称为两点间的距离

点列的收敛性

• 定义：设 $\mathbb{R}^{n}$ 中的点列 $\boldsymbol{x_k}=\left(x_{k,1}, \cdots, x_{k,n}\right) $, $k \in \mathbb{N}$, $\boldsymbol{x_0}=\left(x_{0,1}, \cdots x_{0,n}\right) $. 若 $\lim_{k \rightarrow \infty} d\left(\boldsymbol{x_k}, \boldsymbol{x_0}\right)= 0 $, 则称点列 $ \boldsymbol{x_k}$ 收敛于 $\boldsymbol{x_0}$, 记为 $\lim_{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x_k}=\boldsymbol{x_0} $
• 注1：$\lim_{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x_k}=\boldsymbol{x_0} \Longleftrightarrow \lim_{k \rightarrow \infty} x_{k,i}=x_{0,i}$, $i= 1, \cdots, n$

邻域和去心邻域

设 $P_{0} \in \mathbb{R}^{n}, \delta>0$,

• 则称集合 $$U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P \mid P \in \mathbb{R}^{n}, d\left(P_{0}, P\right)<\delta\right\}$$ 为点 $P_{0}$ 的 $\delta$ 邻域;
• 而称 $$\stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P \mid P \in \mathbb{R}^{n}, 0<d\left(P_{0}, P\right)<\delta\right\}$$ 为点 $P_{0}$ 的去心 $\delta$ 邻域.

内点、外点、边界点、聚点

设集合 $E\subset\mathbb{R}^{n}$

• 若$\exists \delta>0$，使得 $$U(P_0,\delta)\subset E$$ 则称$P_0$是$E$的内点，$E$ 的全体内点构成的集合称为 $E$ 的内部或内核，记为$E^0$
• 若$\exists \delta>0$，使得 $$U(P_0,\delta)\cap E=\varnothing$$ 则称$P_0$是$E$的外点
• 若$\forall \delta>0$，在$U(P_0,\delta)$内既有属于$E$的点又有不属于$E$的点，则称$P_0$是$E$的边界点，$E$的全体边界点构成的集合称为$E$的边界，记为 $\partial E$。边界点包括孤立界点。
• 若任一 $P_0$ 的邻域都含有 $E$ 中异于 $P_0$ 的点，则称 $P_0$ 为 $E$ 的聚点。全体聚点的集合称为 $E$ 的导集，记为 $E’$。$E$ 的聚点可能属于$E$，也可能不属于$E$

简单性质：

• 内点一定是聚点
• 外点一定不是聚点
• 边界点不一定是聚点
• 孤立点一定是边界点
• 聚点不一定是内点
• 点有两种分类方式：{外点，内点，边界点}和{外点，聚点，孤立点}

开集和闭集

设集合 $E\subset\mathbb{R}^{n}$，若 $E$ 中的点全是 $E$ 的内点，则称 $E$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的开集；若差集 $\mathbb{R}^{n}-E$ 为开集，则称 $E$ 为闭集。

• $\partial E \subset E \Leftrightarrow E\text{是闭集} \Leftrightarrow E’\subset E$
• 空集既开又闭
• 只有有限个点的集合必为闭集
• 有限多个开集之交为开集（无穷多个开集的交集未必是开集）
• 任意多个开集之并为开集
• $\mathbb{R}^{3}$ 上的闭圆不是闭集，$\mathbb{R}^{2}$ 上的棒棒糖不是闭集
• 判断闭集的方法：去掉边界，再加上边界，判断是否和原集合相同

开区域和闭区域

设集合 $D\subset\mathbb{R}^{n}$，若$D$中任意两点都能用完全属于$D$的道路联结起来，则称$D$是连通的

连通的开集称为开区域，简称开域或区域；区域连同其边界称为闭区域，简称闭域

• 连通的闭集不一定是闭区域
  （反例：$A=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\}\cup \{(x,y)|(x-2)^2+y^2\leq 1\}$）
• 闭区域不一定是连通的闭集（$\mathbb{R}^3$ 上的圆盘）
• $\mathbb{R}^{n}$ 上的 $\mathbb{R}^{r} (r<n)$ 维点集一定不是开集、闭集、开域、闭域

有界集和无界集

设集合 $E\subset\mathbb{R}^{n}$，$O$是$\mathbb{R}^{n}$中的原点，若$\exists M>0$，使得$E\subset U(O,M)$，则称 $E$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的有界集，否则称 $E$ 为无界集

• 有界的闭集不一定是闭域（非连续）

多元函数的定义

设 $D$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的非空子集， $f$ 是 $D\to\mathbb{R}$ 的映射，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，记为

$$f:D\to \mathbb{R}$$

或

$$u=f(P),\quad P\in D$$

映射 $f$ 的定义域 $D(f)$ 和值域 $R(f)$ 分别称为函数 $f$ 的定义域和值域， $P$ 称为函数的自变量，有时也将 $P$ 的分量均称为自变量

多元初等函数的定义

略

二重极限

设 $f: \stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}\right) \rightarrow \mathbb{R}$，若 $\exists A \in \mathbb{R}$, $\forall \varepsilon> 0$, $\exists \delta>0$, $\forall P(x, y) \in \stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, \delta\right): $

$$|f(x, y)-A|<\varepsilon$$

则称当 $P(x,y)\to P_{0}(x_0,y_0)$ 时, $f(x, y)$ 的二重极限(简称为极限) 为 $A$，记为

$$\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=A$$

或

$$\lim _{x \rightarrow x_{0} \atop y \rightarrow y_{0}} f(x, y)=A$$

或

$$\lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)=A$$

• $P\to P_{0}$，如果收敛，则极限值与路径无关，方向无关，与趋近方式无关（即：若动点$P$以两种不同方式趋于$P_0$时，极限值不同，则$f$在$P_0$处不存在二重极限）
• 一元函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性，夹逼性，四则运算法则等，可移植到二元函数的极限上。
• 计算二重极限常用方法：特殊路径、夹逼法、四则运算、换元法。

二重极限与二次极限

二重极限 $\lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \ y \rightarrow y_0}} f(x, y)$ 表达式中 $x \rightarrow x_{0}, y \rightarrow y_{0}$ 是指点 $P(x, y) \rightarrow$ 点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ , 而不是先 $x \rightarrow x_{0}$ 而后 $y \rightarrow y_{0}$ (或先 $y \rightarrow y_{0}$ 而后 $x \rightarrow x_{0}$ ). 一般地,

$$\lim _{x \rightarrow x_{0} \atop y \rightarrow y_{0}} f(x, y) \neq \lim _{y \rightarrow y_{0}}\left[\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)\right] \text { （或 } \lim _{y \rightarrow y_{0}}\left[\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)\right] \text { ）}$$

左侧是二重极限，右侧称为二次极限或累次极限

• 两者的关系：二重极限存在，二次极限的首次极限存在，则二次极限存在，且等于二重极限。

二元函数的连续性

设 $f$ 是平面区域（或闭区域） $D$ 上的二元函数，$(x_0,y_0)\in D$，若

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

则称函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，也称 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的连续点；若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不连续，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处间断，也称 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的间断点
若引进全增量

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

则函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续即为

$$\lim _{\Delta x \rightarrow 0 \atop \Delta y \rightarrow 0} \Delta f=0$$

连续函数

如果二元函数 $f(x,y)$ 在平面区域（或闭区域） $D$ 上每一点都连续，则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，或者称 $f(x,y)$ 是 $D$ 上的连续函数，记为 $f\in C(D)$

• 性质：
  • 二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数
  • 二元函数的复合函数是连续函数
  • 二元初等函数在其定义域内都是连续的

四大定理

• 有界性定理：若 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有界, 即 $\exists M>0$, 当 $(x, y) \in D$ 时，恒有 $$|f(x, y)| \leqslant M$$
• 最值定理：若函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必取得最大值和最小值，即 $\exists\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in D$, 使得 $$f\left(x_{1}, y_{1}\right)=\max_{D} \{f(x, y)\}, f\left(x_{2}, y_{2}\right)=\min_{D} \{f(x, y)\}$$
• 零点存在定理：若函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，且 $f(x_{1}, y_{1})f(x_{2}, y_{2}) \leqslant 0$,$(x_{1}, y_{1}),(x_{2}, y_{2}) \in D$ ，则存在 $(\xi, \eta) \in D$，使得 $$f(\xi, \eta)=0$$ 加强：存在 $(\xi, \eta) \in$ 从 $(x_{1}, y_{1})$ 到 $(x_{2}, y_{2})$ 的一条道路，使得 $$f(\xi, \eta)=0$$
• 介值定理：若函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$M, m$ 分别是 $f$ 在 $D$ 上的最大值和最小值，$\mu \in(m, M)$，则 $\exists P(\xi, \eta) \in D$，使得 $$f(\xi, \eta)=\mu$$

偏导数

定义：设 $z=f(x, y),(x, y) \in D$，$f(x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的某邻域内有定义，固定 $y=y_{0}$，

$$\Delta_{x} z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$$

称为 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处关于 $x$ 的偏增量。若

$$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x} z}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为二元函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处关于 $x$ 的偏导数，记为

$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\text{或}\left.\quad \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\text{或} \quad z_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\text{或} \quad f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$$

可类似定义 $f_y(x_0,y_0)$
若 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的两个偏导数存在，则称函数 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处是可偏导的

• 若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 或者 $y$ 可偏导，则 $f$ 关于 $x$ 或者 $y$ 一元连续
• 若 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x,y$ 均可偏导，$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不一定二元连续

偏导函数

若 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 上任意点 $(x, y)$ 处均对 $x$ 或对 $y$ 可偏导，则得到 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 上对 $x$ 或 对 $y$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial f}{\partial x}, f_{x}$ 或者 $\frac{\partial f}{\partial y}, f_{y}$

二元函数偏导数的几何意义

略

二阶偏导数

设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 的某邻域内有偏导函数 $f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$, 它们仍然是二元函数, 如果它们在点 $P(x, y)$ 关于自变量 $x, y$ 的偏导数都存在, 则把这些偏导数称为 $z=f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 处的二阶偏导数. 这样的二阶偏导数共有四个, 分别为

$$\begin{array}{l} f_{x x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \quad f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \\ f_{y x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), \quad f_{y y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), \end{array}$$

后面两个被称为二阶混合偏导数

• 结论：设二元函数 $u(x, y)$ 具有二阶偏导数，$u(x, y) \neq 0$ 。则 $u(x, y)=f(x) \cdot g(y)$ 的充要条件是 $u_{x y}=u_{x} \cdot u_{y}$

二阶混合偏导数相等的条件

• 定理1：若 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 均在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，则有 $f_{xy}(x_0, y_0)=f_{yx}(x_0, y_0)$
  条件充分而非必要
  （主要适用于多元初等函数，因为多元初等函数的偏导数都是多元初等函数，连续）
• 定理2：若在 $U(P_0,\delta)$ 中 $f_{xy}(x,y)$ 和 $f_{yx}(x,y)$ 均存在，且极限 $\lim_{(x,y)\rightarrow P_0} f_{xy}=A$ 和 $\lim_{(x,y)\rightarrow P_0} f_{yx}=B$ 也均存在，则 $A=B$

全微分

定义：设函数 $z=f(x, y)$ 在 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域有定义, 若它在 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的全增量

$$\Delta z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$$

可以表示为

$$\Delta z=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y+o(\rho),$$

其中 $A, B$ 为与 $\Delta x, \Delta y$ 无关的常数, $\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ （$o(\rho)$ 是指在二重极限 $(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)$ 过程下 $\rho$ 的高阶无穷小）, 则称 $f$ 在 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微, 而称 $A\cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$ 为函数 $f$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的全微分, 记为 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ 或 $\left.\mathrm{d} f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$, 即

$$\left.\mathrm{d} z\right|_{\left(x_{0} , y_{0}\right)}=\left.\mathrm{d} f\right|_{\left(x_{0} ,y_0 \right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$$

由于

$$o\left(\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}\right)=\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y,$$

其中 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是 $(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)$ 时的无穷小，可以看出，全微分

$$\left.\mathrm{d} z\right|_{(x_0,y_0)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$$

是函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处全增量 $\Delta z$ 关于 $\Delta x, \Delta y$ 的线性近似.

• $A,B$ 仅与 $(x_0,y_0)$ 有关，与 $\Delta x,\Delta y$ 无关
• 在区域 $D$ 内每一点都可微的函数 $f$，称为区域 $D$ 内的可微函数，或函数在 $D$ 内可微
• 多元函数可微一定可偏导，一定连续，可偏导+连续也不一定可微

常见函数的性质

• $$f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & ((x, y) \neq(0,0)) \\ 0 & ((x, y)=(0,0)) \end{array}\right.$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 连续性&可偏导性&偏导数连续性&可微性\\ \hline ×&√&×&×\\ \hline \end{array}$$

• $$f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2x y^3}{x^{2}+y^{4}} & ((x, y) \neq(0,0)) \\ 0 & ((x, y)=(0,0)) \end{array}\right.$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 连续性&可偏导性&偏导数连续性&可微性\\ \hline √&√&×&×\\ \hline \end{array}$$

• $$f(x, y)=|x|+|y|$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 连续性&可偏导性&偏导数连续性&可微性\\ \hline √&×&-&×\\ \hline \end{array}$$

• $$f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} (x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & ((x, y) \neq(0,0)) \\ 0 & ((x, y)=(0,0)) \end{array}\right.$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 连续性&可偏导性&偏导数连续性&可微性\\ \hline √&√&×&√\\ \hline \end{array}$$

可微性的必要条件

若 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0},y_{0}) \in D$ 处可微，则 $f$ 在该点处关于 $x, y$ 均可偏导, 且在全微分定义中

$$A=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), \quad B=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) .$$

$f$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分可以记为

$$\mathrm{d}z=\mathrm{d}f=f_{x}(x,y) \mathrm{d}x+f_{y}(x,y) \mathrm{d}y$$

可微性的充分条件

若 $f(x, y)$ 的两个偏导数 $f_{x}, f_{y}$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续, 则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微。

• 注意：条件充分而非必要。
• 结论：偏导数连续，必可微；可微，必可偏导，必连续。
• 加强条件：若一个偏导数连续，另一个偏导数存在，则可微。
• 证明：
  只需证： $$\begin{align} \Delta z= & f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ = & f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) \end{align}$$ 而 $$\begin{align} \Delta z= & f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ = & f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)+f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \end{align}$$ 由拉格朗日中值定理（有限增量公式） $$\begin{array}{l} \exists \theta_1\in (0,1):f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x\\ \exists \theta_2\in (0,1):f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y \end{array}$$ 又由偏导数在 $(x_0,y_0)$ 处二元连续，设 $$\begin{array}{l} f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha\\ f_x(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f_y(x_0,y_0)+\beta \end{array}$$ 则有 $$\begin{array}{l} \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\alpha =0\\ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\beta =0 \end{array}$$ 又因为 $$0\le\frac{|\alpha \Delta x+\beta \Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\le|\alpha|+|\beta|$$ 所以 $$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{|\alpha \Delta x+\beta \Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$$ 所以 $\alpha \Delta x+\beta \Delta y$ 是 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 的高阶无穷小
  所以 $$\begin{align} \Delta z= & f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x + f_x(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y\\ = & f_x(x_0,y_0)\Delta x+\alpha\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+\beta\Delta y\\ = & f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) \end{align}$$ 证毕！

可微性的充要条件（判定条件）

对于二元函数 $z=f(x,y)$，

• 若在 $P(x_0,y_0)$ 处的偏导数 $f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)$ 有一个不存在，则不可微
• 若存在，令 $A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$，验证是否有 $$\lim _{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\Delta z-A \Delta x-B \Delta y|}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=0$$ 如果成立，则可微。

全微分的近似计算公式

当 $\Delta x,\Delta y$ 充分小时，

$$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$$

多元复合函数的偏导数

链式法则：设 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处具有一阶偏导数，函数 $z=f(u,v)$ 在相应于 $(x,y)$ 的点 $(u,v)$ 处可微，则复合函数 $z=f(u(x,y),v(x,y))$ 在点 $(x,y)$ 存在偏导数，且

$$\begin{array}{l} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}$$

常见的复合函数变形

• 三阶简单函数关系
  $z$ 是 $u,v$ 的函数；$u,v$ 都是 $x,y$ 的函数 $$\text{已知} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x}=a\\ \frac{\partial u}{\partial y}=b\\ \frac{\partial v}{\partial x}=c\\ \frac{\partial v}{\partial y}=d \end{array} \right. \text{（}a,b,c,d\text{均是常量）}$$

$$\begin{array}{l} \frac{\partial z}{\partial x}=a\cdot \frac{\partial z}{\partial u}+c\cdot \frac{\partial z}{\partial v}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=b\cdot \frac{\partial z}{\partial u}+d\cdot \frac{\partial z}{\partial v} \end{array}$$ $$\begin{array}{l} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=a^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+2ac \frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}+c^2 \frac{\partial^2 z}{\partial v^2}\\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=b^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+2bd \frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}+d^2 \frac{\partial^2 z}{\partial v^2}\\ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=ab \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+(bc+ad) \frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}+cd \frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \end{array}$$

• 极坐标变换 $$u=u(x,y),\quad \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta\\ \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial\theta}=-r\sin\theta\\ \frac{\partial y}{\partial\theta}=r\cos\theta \end{array} \right.$$ $$\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial r}=\cos\theta\frac{\partial u}{\partial x}+\sin\theta\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial\theta}=-r\sin\theta\frac{\partial u}{\partial x}+r\cos\theta\frac{\partial u}{\partial y} \end{array}$$ $$\begin{array}{l} \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}=\cos^2\theta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sin^2\theta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+2\sin\theta\cos\theta \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=-r\cos\theta\frac{\partial u}{\partial x}-r\sin\theta\frac{\partial u}{\partial y}+r^2\sin^2\theta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+r^2\cos^2\theta \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \end{array}$$

性质：

• $$\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$
• $$\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2$$

一阶全微分的形式不变性

$z=z(u,v)$ 无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，都有 $\mathrm{d}z=z_u\mathrm{d}u+z_v\mathrm{d}v$ ，称为一阶全微分的形式不变性

隐函数存在定理及其导数

二元函数 $F(x,y)=0$ 型

设函数 $F(x,y)$ 与点 $p_0(x_0,y_0)$ 满足：

• $F(x_0,y_0)=0$
• $\exists\delta$,$F_x,F_y$ 在 $U(p_0,\delta)$ 内连续
• $F_y(x_0,y_0)\ne 0$

则在 $p_0$ 的某邻域内存在唯一函数 $y=y(x)$ ：

• $F(x,y(x))\equiv 0,\quad y_0=y(x_0)$
• $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$

扩展：反函数的存在定理

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有连续导函数 $f’(x)$，且 $f(x_0)=y_0$

考虑方程 $F(x,y)=y-f(x)=0$，由隐函数存在定理，只要 $f’(x_0)\ne 0$，则在 $U(y_0)$ 内存在唯一的连续可微函数 $x=g(y)$ ，称之为 $y=f(x)$ 的反函数，其导数

$$g'(y)=-\frac{F_y}{F_x}=\frac{1}{f'(x)}$$

多元函数 $F(x_1,\cdots,x_n,y)=0$ 型

设多元函数 $F(x_1,\cdots,x_n,y)=0$ 满足：

• $F(x_{1,0},\cdots,x_{n,0},y_0)=0$
• 在 $P_0(x_{1,0},\cdots,x_{n,0},y_0)$ 的某邻域内有连续偏导数 $F_{x_1},\cdots,F_{x_n},F_y$
• $F_y(x_{1,0},\cdots,x_{n,0},y_0)\ne 0$

则有：

• 在 $P_0(x_{1,0},\cdots,x_{n,0},y_0)$ 的某邻域内存在唯一隐函数 $y=f(x_1,\cdots,x_n)$ 满足 $$\begin{array}{c} F(x_1,\cdots,x_n,f(x_1,\cdots,x_n))=0\\ y_0=f(x_{1,0},\cdots,x_{n,0}) \end{array}$$
• $y=f(x_1,\cdots,x_n)$ 在 $U(P_0)$ 内有连续偏导数，且 $$\frac{\partial y}{\partial x_i}=-\frac{F_{x_i}}{F_y}$$

复合函数偏导数方法

• 两边直接求偏导数
• 取全微分

• 公式法

• 注意：若函数 $F(x,y,z)=0$ 中有附加条件 $z=z(x,y)$，则在“取全微分”和“公式法”时，仍将 $z$ 看成独立变量。

• 通常：求高阶偏导数用“直接求偏导法”，求多个偏导数用“全微分法”。
• 隐函数＋复合函数的一阶偏导数和高阶偏导数问题
  • 直接用隐函数与复合函数的求导公式
  • 是用全微分计算

Jacobi行列式

二阶

对于方程组

$$\left\{\begin{array}{l} F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0 \end{array}\right.$$

函数 $F,G$ 关于 $u,v$ 的Jacobi行列式记为

$$\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|$$

高阶

对于函数 $y_i=f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,$\quad i=1,2,\cdots,n$，定义：

$$\frac{\partial (y_1,y_2,\cdots,y_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots,x_n)}= \left|\begin{array}{cccc} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \frac{\partial y_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n} \end{array}\right|$$

对于函数 $x_i=g_i(y_1,y_2,\cdots,y_n)$,$\quad i=1,2,\cdots,n$，定义：

$$\frac{\partial (x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial (y_1,y_2,\cdots,y_n)}= \left|\begin{array}{cccc} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial y_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} & \frac{\partial x_n}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{array}\right|$$

则有：

$$\frac{\partial (y_1,y_2,\cdots,y_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots,x_n)} \cdot \frac{\partial (x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial (y_1,y_2,\cdots,y_n)}=1$$

隐函数方程组型

若对于方程组 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.$ 有：

• $F,G$ 具有连续的偏导数
• $\left.F\right|_{P_0}=0,\left.G\right|_{P_0}=0$
• $J=\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}\right|_{P_0}\ne 0$
  则存在唯一的隐函数 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ ，满足

上式也可以写成矩阵形式

$$\left(\begin{array}{ll} u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right)^{-1} \cdot\left(\begin{array}{cc} F_{x} & F_{y} \\ G_{x} & G_{y} \end{array}\right)$$

方向导数

方向导数的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的邻域内有定义，$\boldsymbol{l}$ 为非零向量，其方向余弦为 $\cos\alpha,\cos\beta$，若极限

$$\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$$

存在，则称此极限值为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数，记作

$$\left.\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}, \text { 或 }\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$$

• 方向导数是双侧逼近的
• 方向导数就是函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的变化率
• 一些特殊方向：
  • 若 $\boldsymbol{l}=(1,0)$，则 $\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{l}}=f_x(x_0, y_0)$
  • 若 $\boldsymbol{l}=(0,1)$，则 $\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{l}}=f_y(x_0, y_0)$
  • 若 $\boldsymbol{l}=(-1,0)$，则 $\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{l}}=-f_x(x_0, y_0)$
  • 若 $\boldsymbol{l}=(0,-1)$，则 $\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{l}}=-f_y(x_0, y_0)$

方向导数存在的条件（计算公式）

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 可微，$\boldsymbol{l}$ 的方向余弦为 $\cos\alpha,\cos\beta$，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处沿 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数存在，且

$$\left.\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$$

• 定理条件充分而非必要：若函数在任意方向的方向导数都存在，该函数未必可微。
• 推广到三元函数：若三元函数 $u=f(x,y,z)$ 可微，则在 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 沿 $\boldsymbol{l}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 的方向导数为 $$\left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{P_0}=f_x(P_0)\cos\alpha+f_y(P_0)\cos\beta+f_z(P_0)\cos\gamma$$

梯度

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 可微，则称向量

$$(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$$

为函数 $f$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的梯度，记为

$$\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}, \operatorname{grad} f\left(x_{0}, y_{0}\right),\left.\nabla f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} \text {, 或 } \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)$$

• 这里的$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)$ 是个算子，称为向量微分算子或Hamilton算子
• 梯度的模（长度）为 $$\|\operatorname{grad} f\|=\sqrt{f_{x}^{2}\left(P_{0}\right)+f_{y}^{2}\left(P_{0}\right)}$$

• 沿着 $\operatorname{grad} f$ 方向时，$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 达到最大值 $|\operatorname{grad} f|$；沿着 $\operatorname{grad} f$ 相反的方向时，$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 达到最小值 $- |\operatorname{grad} f| $
  即：梯度的方向是方向导数取最大值时的方向，也即函数变化率最大的方向，它的模是方向导数的最大值；而与梯度方向相反的方向则是方向导数取最小值时的方向。

• 梯度的概念也可推广到二元以上的多元函数

空间曲线的切线与法平面

• 切线和法平面的定义：略
• 光滑曲线的定义：如果空间曲线 $\Gamma$ 在其上每一点有切线，而且切向量 $(x’(t),y’(t),z’(t))$ 是连续变化的，我们称这样的曲线为光滑曲线
• 总体思路：要确定曲线上某一点的切线和法面，只需确定相应的方向向量和法向量

参数方程的情况

曲线

$$l:\left\{\begin{array}{l} x=x(t), \\ y=y(t), \quad x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t) \neq 0 . \\ z=z(t) \end{array}\right.$$

过 $P_0$ 的切线方程为

$$\frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}$$

法面方程为

$$x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$$

两曲面的交线

光滑曲线

$$\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$$

在 $P_0$ 处的法面方程可写为

$$\left|\begin{array}{lll} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ F_{x}\left(P_{0}\right) & F_{y}\left(P_{0}\right) & F_{z}\left(P_{0}\right) \\ G_{x}\left(P_{0}\right) & G_{y}\left(P_{0}\right) & G_{z}\left(P_{0}\right) \end{array}\right|=0$$

曲面的切平面与法线

• 切平面和法线的定义：略
• 光滑曲面的定义：对曲线 $S$ $$F(x,y,z)=0$$ 若 $F$ 有连续偏导数，且 $F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} \neq 0$，那么 $S$ 上的每点都有切平面，而且法向量 $$\boldsymbol{n}=\nabla F=\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$$ 是连续变化的，称这样的曲面为光滑曲面

一般形式

对于光滑曲面 $F(x, y, z)=0$

• 切面方程为 $$F_{x}\left(P_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(P_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(P_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$$

• 法线方程为

  $$\frac{x-x_{0}}{F_{x}\left(P_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}\left(P_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}\left(P_{0}\right)}$$

• 特别地，曲面 $z=f(x, y)$ 在 $z_{0}=z\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切面方程为

  $$z_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+z_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)-\left(z-z_{0}\right)=0$$

  法线方程为

  $$\frac{x-x_{0}}{z_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{z_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{-1}$$

参数方程形式

曲面的参数方程形式

$$x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)$$

在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 附近隐函数存在,

$$z=z(u, v)=z(u(x, y), v(x, y)),$$

在 $P_{0}$ 点的法线方程为

$$\frac{x-x_{0}}{\left.\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right|_{P_{0}}}=\frac{y-y_{0}}{\left.\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right|_{P_{0}}}=\frac{z-z_{0}}{\left.\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{P_{0}}}$$

切面方程为

$$\left|\begin{array}{lll} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ x_{u}\left(P_{0}\right) & y_{u}\left(P_{0}\right) & z_{u}\left(P_{0}\right) \\ x_{v}\left(P_{0}\right) & y_{v}\left(P_{0}\right) & z_{v}\left(P_{0}\right) \end{array}\right|=0$$

二元函数的Taylor公式

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内具有 $n+1$ 阶连续偏导数，则

$$\begin{aligned} f(x,y)=&\ f(x_0,y_0)\\ &+f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y\\ &+\frac{1}{2!}\left(f_{xx}(x_0,y_0)\Delta x^2+2f_{xy}(x_0,y_0)\Delta x\Delta y+f_{yy}(x_0,y_0)\Delta y^2\right)\\ &+\frac{1}{3!}\left(f_{xxx}(x_0,y_0)\Delta x^3+3f_{xxy}(x_0,y_0)\Delta x^2\Delta y+3f_{xyy}(x_0,y_0)\Delta x\Delta y^2+f_{yyy}(x_0,y_0)\Delta y^3\right)\\ &+\cdots\\ &+\frac{1}{n!}\left(\sum\limits_{k=0}^n C_n^k\left.\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}\right|_{(x_0,y_0)}\Delta x^k \Delta y^{n-k}\right)\\ &+R_n\\ \end{aligned}$$

即

$$f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=\left.\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f\right|_{\left(x_{0},y_{0}\right)}+R_{n}$$

其中

$$R_{n}=\left.\frac{1}{(n+1) !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\right|_{\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right)}(0<\theta<1)$$

称为Lagrange型余项，上述公式称为 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的 $n$ 阶Taylor公式

二元函数的拉格朗日(Lagrange)中值定理

若 $f(x,y)$ 在凸域 $D$ 上可微，把 $n=0$ 代入Taylor公式，得到

$$\begin{aligned} & f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) \\ =& f_{x}\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \Delta y\quad(0<\theta<1) \end{aligned}$$

• 特别地，如果在区域 $D$ 内，二元函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数恒等于 $0$，即 $$f_{x}(x, y)=f_{y}(x, y)=0,$$ 则由以上 Lagrange 中值定理推得 $$f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right) \equiv f\left(x_{0}, y_{0}\right)$$ 即在区域 $D$ 内，$f(x, y)$ 为常数

皮亚诺(Peano)余项

若 $f(x,y)$ 在 $U(P_0)$ 内有 $n$ 阶连续偏导数，那么可以得到

$$R_{n}=o\left(\rho^{n}\right)\quad\left(\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\right)$$

这是二元函数Taylor公式的Peano型余项

二元函数的麦克劳林(Maclaurin)公式

在二元函数Taylor公式中，取 $x_0=0,y_0=0$ 便得到二元函数的Maclaurin公式

$$f(x, y)=\left.\sum\limits _{k=1}^{n} \frac{1}{k !}\left(x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f\right|_{(0,0)}+R_{n}$$

其中

$$R_{n}=\left.\frac{1}{(n+1) !}\left(x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\right|_{(\theta x, \theta y)}\quad(0<\theta<1)$$

多元函数的极值

多元函数极值的定义

设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有定义，若在此邻域内有

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0) \quad\text{（或 }f(x,y)\ge f(x_0,y_0)\text{）}$$

则称函数 $f$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处取得极大值（或极小值） $f(x_0,y_0)$，而点 $P_0(x_0,y_0)$ 称为函数 $f$ 的极大值点（或极小值点）

• 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点
• 极值点首先必须是内点

二元函数极值的必要条件

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处取得极值，且函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，则

$$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$$

满足上式的点 $P_0(x_0,y_0)$ 称为二元函数 $f$ 的驻点

• 条件必要而非充分
• $f$ 在不可偏导点可能取到局部极值

二元函数极值的充分条件

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$的邻域 $U(P_0)$ 内有连续的二阶偏导数，且 $P_0(x_0,y_0)$ 是函数 $f(x,y)$的驻点，记

$$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$$

以及

$$H=AC-B^2$$

则：

• 当 $H>0$ 时
  • 若 $A<0$，$f$ 在 $P_0$ 处取严格极大值
  • 若 $A>0$，$f$ 在 $P_0$ 处取严格极小值
• 当 $H<0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 处不取到极值
• 当 $H=0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 处极值情况不能确定

拓展：推广到n元函数

对于 $n$ 元实函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点 $P_0(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的邻域内有二阶连续偏导，若有

$$\left.\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right|_{\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)}=0, \quad j=1,2, \ldots, n$$

定义

$$f_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$$

再定义Hesse矩阵H：

$$H=\left(\begin{array}{cccc} f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1 n} \\ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_{n 1} & f_{n 2} & \cdots & f_{n n} \end{array}\right)$$

• 当 $H$ 正定矩阵时，$f$ 在 $P_0$ 处是极小值；
• 当 $H$ 负定矩阵时，$f$ 在 $P_0$ 处是极大值；
• 当 $H$ 不定矩阵时，$P_0$ 不是极值点；
• 当 $H$ 为半正定矩阵或半负定矩阵时，$P_0$ 是“可疑”极值点，尚需要利用其他方法来判定。

计算函数的极值点的步骤

1. 由 $f_x(x,y)= f_y(x,y)=0$ 解出驻点
2. 计算驻点处 $A,B,C,H$ 的符号，利用定理确定极值点和极值。

二元函数求最值

1. 确定驻点和不可导点
2. 求出所有这些点及边界处的值确定最值（如果存在）

• 注意：二元连续函数：$f(x, y)$ 在区域内只有唯一极值点，该极值点未必为最值点

极值问题的分类

• 函数的自变量在定义域内受到其他条件限制的极值问题称为条件极值问题，条件称为约束条件，相应的函数称为目标函数
• 在定义域内不受其他条件限制的极值问题称为无条件极值问题

Lagrange乘数法

求目标函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值问题。

点 $(x_0,y_0)$ 为极值点的必要条件为：点 $(x_0,y_0)$ 满足方程

$$\frac{f_{x}}{\varphi_{x}}=\frac{f_{y}}{\varphi_{y}}$$

设上面的比值为 $-\lambda$，条件等价于点 $(x_0,y_0)$ 满足方程

$$\left\{ \begin{array}{l} f_{x}+\lambda\varphi_{x}=0\\ f_{y}+\lambda\varphi_{y}=0\\ \varphi(x,y)=0 \end{array} \right.$$

定义 $L(x,y,\lambda)\triangleq f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$，则条件等价于点 $(x_0,y_0)$ 满足方程

$$\left\{ \begin{array}{l} L_{x}=0\\ L_{y}=0\\ L_{\lambda}=0 \end{array} \right.$$

• 条件必要而不充分
• 使用条件：$\varphi(x,y)=0$ 的隐函数存在；且 $\varphi(x,y)$ 的一阶偏导数连续
• 扩展到 $n$ 元的情况
  求目标函数 $z=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 在约束条件 $$\left\{\begin{array}{c} \varphi_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=0 \\ \vdots \\ \varphi_{m}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=0 \end{array}\right. \quad(m<n)$$ 下的极值问题。定义 $$L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)\triangleq f(x_1,x_2,\cdots,x_n)+\sum\limits_{j=1}^m \lambda_j\varphi_j(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$ 则点 $(x_{1,0},x_{2,0},\cdots,x_{n,0})$ 是极值的必要条件为 $$\left\{ \begin{array}{l} L_{x_i}=0 \quad(i=1,2,\cdots,n)\\ \varphi_j=0 \quad(j=1,2,\cdots,m) \end{array} \right.$$

*条件极值的充分条件

考虑目标函数 $f(x, y, z)$ ，约束条件 $\varphi(x, y, z)=0, \psi(x, y, z)=0$ 的极值问题。

条件: 在 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 某邻域内，$f, \varphi, \psi$ 均有二阶连续偏导数，且 $L_{x}\left(P_{0}\right)=L_{y}\left(P_{0}\right)=L_{z}\left(P_{0}\right)=0$

定义 $L\left(x, y, z, \lambda_{1}, \lambda_{2}\right)=f+\lambda_{1} \varphi+\lambda_{2} \psi$
由 $\Delta f=f(P)-f\left(P_{0}\right)=L(P)-L\left(P_{0}\right)=\Delta L$
定义矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc} L_{x x} & L_{x y} & L_{x z} \\ L_{y x} & L_{y y} & L_{y z} \\ L_{z x} & L_{z y} & L_{z z} \end{array}\right) \doteq H$$

可以证明：

• $H$ 正定时，$\Delta f >0$，$P_0$ 为极小值.
• $H$ 负定时，$\Delta f <0$，$P_0$ 为极大值.
  $H$ 称为Hesse矩阵

积分符号内取微分

给定如下积分

$$F(x,a(x),b(x))=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t) \mathrm{d}t$$

如果在 $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ 时

• $f(x,t)$ 与 $\frac{\partial }{\partial x} f(x,t)$ 对 $t$ 和 $x$ 在 $(t,x)$ 平面连续
• $a(x)\leq t\leq b(x)$
• $a(x)$ 与 $b(x)$ 及其导数连续

那么当 $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ 时，根据全微分公式和微积分基本定理，该积分对 $x$ 的导数为

$$\begin{aligned} {\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\,F(x,a(x),b(x)) &=\left({\frac {\partial F}{\partial b}}\right){\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}x}}+\left({\frac{\partial F}{\partial a}}\right){\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}x}}+{\frac{\partial F}{\partial x}}\\ &=f(x,b(x)) b'(x)-f(x,a(x)) a'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial }{\partial x}} f(x,t)\mathrm{d}t \end{aligned}$$

如果 $a(x)$ 和 $b(x)$ 是常数而不是 $x$ 的函数，那么此时的特殊情况可看做交换积分和求导的顺序：

$$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{a}^{b}f(x,t) \mathrm{d}t\right)=\int_{a}^{b}{\frac{\partial }{\partial x}}f(x,t) \mathrm{d}t$$

如果 $f$ 与 $x$ 无关，那么此时的特殊情况可看做变上限积分函数求导：

$$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{a(x)}^{b(x)}f(t) \mathrm{d}t\right)=f(b(x)) b'(x)-f(a(x)) a'(x)$$

第九章 重积分

二重积分的定义

设 $D$ 是 $\mathbf{R}^{2}$ 中的一个有界闭区域，函数 $f(x, y)$ 为 $D$ 上有界函数，若 $\exists I \in \mathbf{R}$，对区域 $D$ 作任意分划: $\Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}$ （即用任意曲线网将 $D$ 分成小区域），以及 $\forall\left(\xi_{i}, \eta\right) \in \Delta D_{i}(i=1,2, \cdots, n)$，和式

$$\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} （其中 \Delta \sigma_{i} 表示 \Delta D_{i} 的面积）$$

有极限

$$\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=I$$

其中 $\lambda=\max_{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{d_{i}\right\}$（$d_{i}$ 为 $\Delta D_{i}$ 的直径），则称函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，记作 $f \in R(D)$；极限值 $I$ 称为 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作

$$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$$

即

$$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}$$

其中 $\iint$ 是二重积分号，$D$ 是积分区域，$f(x, y)$ 称为被积函数，$\mathrm{d} \sigma$ 称为面积微元（或面积元素），$\sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}$ 称为二重积分和，也称 Riemann 和

二重积分的几何意义

设 $z=f(x,y)$ 是 $xOy$ 平面上有界闭区域 $D$ 上的非负连续函数，其图形为曲面 $S$。以区域 $D$ 为底面，以 $D$ 的边界为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面为侧面，以曲面 $S$ 为顶面所形成的立体称为曲顶柱体。
曲顶柱体体积 $V$ 可表示成函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分

$$V=\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma$$

二重积分的性质

若 $f(x, y) \in R(D), g(x, y) \in R(D)$，

• 线性性
  若 $\alpha,\beta$ 是常数，$\alpha f(x, y)+\beta g(x, y) \in R(D)$，且 $$\iint\limits_{D}(\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) \mathrm{d} \sigma=\alpha \iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\beta \iint\limits_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma$$
• 有限区域可加性
  设 $D=D_{1} \cup D_{2}$，且区域 $D_{1}$ 与 $D_{2}$ 无公共内点，则 $$f(x, y) \in R(D) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x, y) \in R\left(D_{1}\right)\\ f(x, y) \in R\left(D_{2}\right) \end{array} \right.$$ 且 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint\limits_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$$
• 常函数二重积分
  若 $f(x,y)\equiv 1$，用 $A_{D}$ 表示积分区域 $D$ 的面积，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=A_D$$
• 保序性
  若 $\forall (x,y) \in D, f(x, y) \leqslant g(x, y) $，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \le \iint\limits_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma$$
  • 推论1：若 $f(x, y) \in R(D)$，且 $f(x, y) \geqslant 0,(x, y) \in D$，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \geqslant 0$$
  • 推论2：（绝对可积性&绝对值不等式）若 $f(x, y) \in R(D)$，则 $|f(x, y)| \in R(D)$，且 $$\left|\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma\right| \leqslant \iint\limits_{D}|f(x, y)| \mathrm{d} \sigma$$
  • 推论3：（估值不等式）若 $f(x, y) \in R(D)$，且 $m \leqslant f(x, y) \leqslant M,(x, y) \in D$，用 $A_{D}$ 表示积分区域 $D$ 的面积，则 $$m A_{D} \leqslant \iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant M A_{D}$$
• 乘积函数可积性 $$f(x,y)g(x,y)\in D$$
• 柯西（Cauchy·Schwarz）不等式 $$\left(\iint\limits_{D} f(x,y) g(x,y) \mathrm{d} \sigma\right)^{2} \leqslant \iint\limits_{D} f^{2}(x,y) \mathrm{d} \sigma \cdot \iint\limits_{D} g^{2}(x,y) \mathrm{d} \sigma$$

积分中值定理

若 $f(x, y) \in C(D), g(x, y) \in R(D)$，且 $g(x, y)$ 在 $D$ 上不变号，则 $\exists(\xi, \eta) \in D$，使得

$$\iint\limits_{D} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) \iint\limits_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma$$

特别地，当 $g(x, y) \equiv 1$ 时, 有

$$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) A_{D}$$

即

$$f(\xi, \eta)=\frac{\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma}{A_{D}}$$

因此称 $f(\xi, \eta)$ 为 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的平均值

二次积分

形如

$$\int_a^b \left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$$

的式子称为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分（或二次积分），即先把 $x$ 看作常数，对 $y$ 求积分 $\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y$，所得的值是 $x$ 的函数 $A(x)$，再对 $A(x)$ 计算在 $[a, b]$ 上的定积分。这个累次积分也常写成

$$\int_{a}^{b} \mathrm{d} x \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y$$

二重积分的计算

转化为二次积分

如果二重积分 $\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$ 的积分区域 $D$ 可表示为

$$D=\left\{(x, y) \mid \varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x), a \leqslant x \leqslant b\right\},$$

其中 $\varphi_{1}, \varphi_{2} \in C[a, b]$，则称区域 $D$ 是 $x$ 型正则区域。或者说：平行于 $y$ 轴且穿过 $D$ 内部的直线与 $D$ 的边界的交点不多于两个。则二重积分可化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分

$$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\int_a^b \left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$$

类似地，如果二重积分的积分区域 $D$ 是 $y$ 型正则区域：

$$D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(y) \leqslant x \leqslant \psi_{2}(y), c \leqslant y \leqslant d\right\}$$

其中 $\psi_{1}, \psi_{2} \in C[c, d]$，不难得知二重积分可化为先对 $x$ 后对 $y$ 的累次积分

$$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\int_{c}^{d}\left(\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y$$

当函数可分离变量时

设 $f(x) \in R[a, b], g(y) \in R[c, d]$，则 $f(x) \cdot g(y)$ 在 $D:[a, b] \times [c, d]$ 上可积，则有

$$\iint\limits_{D} f(x) g(y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) \cdot\left(\int_{c}^{d} g(y) \mathrm{d} y\right)$$

二重积分计算的常用技巧

• 积分换序
  首次积分 $f(x)$ 无法计算，考虑积分换序
• 积分区域划分
  被积函数不连续点所在的曲线是划分 $D$ 的依据之一
• 对称应用
  当积分域有一定的对称性、同时被积函数也有相应的奇偶性时，积分可以简化。
  • 当积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称时，若 $f(x,-y)=-f(x,y)$，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y= 0$$
  • 当积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称时，若 $f(x,-y)=f(x,y)$，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y= 2 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$
  • 当积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称时，若 $f(-x, y)=-f(x, y)$ ，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y= 0$$
  • 当积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称时，若 $f(-x, y)=f(x, y)$ ，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y= 2 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$
  • 当积分区域 $D$ 关于原点对称时，若 $f(-x,-y)=-f(x,y)$，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y= 0$$
  • 当积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴都对称时，若 $f(-x,y)=f(x,y)=f(x, -y)$，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y= 4 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

• 常用积分变换
  以下假设 $b>a>0$

  • $$\frac{\arctan b x-\arctan a x}{x}=\int_{a}^{b} \frac{d y}{1+(x y)^{2}}$$
  • $$\frac{\sin b x-\sin a x}{x}=\int_{a}^{b} \cos (x y) d y$$
  • $$\frac{\cos a x-\cos b x}{x}=\int_{a}^{b} \sin (x y) d y$$
  • $$\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}=\int_{a}^{b} x^{y} d y$$
  • $$\frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x}=\int_{a}^{b} e^{-x y} d y$$

• 变量替换

• 轮换对称
  设二元函数 $f(x,y)$ 在有界区域 $D$ 上连续， $D$ 对坐标 $x,y$ 具有轮换对称性，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\iint\limits_{D} f(y, x) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$ 设 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，$D_{1}=D \cap\{y \leq x\}, D_{2}=D \cap\{y \geq x\}$，则 $$\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\iint\limits_{D_{2}} f(y, x) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$
• 补缺求全

积分不等式问题

常用方法：

• 利用积分不等式：估值不等式，绝对值不等式
• 积分中值定理
• 被积函数（在积分域上）变形、放缩
• 有时与被积函数在积分域上的极值问题或者函数的凸性相关

二重积分的定限原则

1. 先 $y$ 后 $x$ 型，又称为 $x$ 型正则区域
   • 将积分域 $D$ 投影到 $x$ 轴，得投影区间 $[a,b]$
   • 在 $[a,b]$ 上任取一点，作与 $y$ 轴同向的直线，穿入线为 $y_1(x)$，穿出线为 $y_2(x)$，则 $$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\int_a^b \left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$$
2. 先 $x$ 后 $y$ 型，又称 $D$ 为 $y$ 型正则区域
   类似(1)的做法
3. 混合型积分区域
   适当分割，化为(1)或者(2)的情况。

极坐标二重积分的定限原则

• 先 $\theta$ 后 $r$，若原点在区域 $D$ 外 $$\iint\limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta=\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d} \theta \int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r$$
• 先 $\theta$ 后 $r$，若原点在区域 $D$ 边界上 $$\iint\limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta=\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r$$
• 先 $\theta$ 后 $r$，若原点在区域 $D$ 边界上 $$\iint\limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta=\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r$$
• 先 $r$ 后 $\theta$ $$\iint\limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta=\int_{r_1}^{r_2} \mathrm{d} r \int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} \theta$$

直角坐标下计算二重积分的步骤

1. 画出 $D$ 的草图，并确定类型
2. 按所确定的类型表示 $D$
3. 化二重积分为二次积分，注意积分上下限
4. 计算二次积分

注意：确定 $D$ 类型兼顾下列两条

• 划分越少越好
• 首次积分易算，并为二次积分创造条件

积分换序的步骤

1. 先由上下限确定积分域 $D$（画草图）
2. 按对偶的类型表示 $D$
3. 换序，确定内层和外层积分的上下限

注意：必须根据图像，避免直接取反函数确定积分上下限

二重积分的变量替换

设变换 $T:x=x(u, v), y=y(u, v)$ 将 $uv$ 平面上的有界闭区域 $D^{\prime}$ 变换为 $xy$ 平面上的有界闭区域 $D$，且满足：

• $x(u, v), y(u, v) \in C^{1}\left(D^{\prime}\right)$ （在 $D^{\prime}$ 有连续一阶偏导数的函数集）
• $J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0,(u, v) \in D^{\prime}$
• $f(x, y) \in C(D)$
  则有 $$\begin{aligned} \iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma & = \iint\limits_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J| \mathrm{d} u \mathrm{d} v\\ & = \iint\limits_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))\cdot\left|1\middle/ \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{d} v\\ & = \iint\limits_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))\cdot \left.1\middle/ \left|\operatorname{det}\left( \begin{array}{c} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{array} \right) \right|\right. \mathrm{d} u \mathrm{d} v \end{aligned}$$

极坐标变换

在极坐标变换 $\left\{\begin{array}{c}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{array}\right.$ 下，

$$\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right|=r$$

从而直角坐标到极坐标的二重积分变量变换公式

$$\iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint\limits_{D^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta$$

广义极坐标变换

设广义极坐标变换

$$\left\{\begin{array}{l} x=a r \cos ^{k} \theta \\ y=b r \sin ^{k} \theta \end{array} \quad(r \geqslant 0)\right.$$

则

$$\mathrm{d} x \mathrm{d} y=k a b r\left|\cos ^{k-1} \theta \sin ^{k-1} \theta\right| \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta$$

注意：广义极坐标中，$\theta$ 不是极角

注意

在有多组变量时务必搞清楚被积分变量和函数自变量

例：已知 $\left\{\begin{array}{c}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{array}\right.$，求函数 $f(r,\theta)=r^3\sin\theta$ 在下图阴影区域上的二重积分。

解法1：注意到 $\left\{\begin{array}{c}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{array}\right.$ 即为一般的极坐标变换，设图中阴影区域为 $D$，则

$$D=\left\{\begin{array}{l} 1\leqslant r \leqslant 2 \\ 0\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2} \end{array} \right.$$

函数 $f$ 在 $D$ 上的二重积分

$$\begin{aligned} \iint\limits_{D} f(r,\theta) \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta & = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{1}^{2} f(r,\theta) \mathrm{d} r\\ & = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{1}^{2} r^3\sin\theta \mathrm{d} r\\ & = \frac{15}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \mathrm{d} \theta\\ & = \frac{15}{4} \end{aligned}$$

解法2：设图中阴影区域为 $D$，则

$$D=\{(x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,1\leqslant x^2+y^2 \leqslant 4\}$$

函数 $f$ 在 $D$ 上的二重积分为

$$\iint\limits_{D} f(r,\theta) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

注意到被积分变量和函数自变量不相同，由 $\left\{\begin{array}{c}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{array}\right.$ 可得

$$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta$$

积分区域

$$D'=\left\{\begin{array}{l} 1\leqslant r \leqslant 2 \\ 0\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2} \end{array} \right.$$

于是

$$\begin{aligned} \iint\limits_{D} f(r,\theta) \mathrm{d} x \mathrm{d} y & = \iint\limits_{D'} f(r,\theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta\\ & = \iint\limits_{D'} r^4\sin\theta \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta\\ & = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{1}^{2} r^4\sin\theta \mathrm{d} r\\ & = \frac{31}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \mathrm{d} \theta\\ & = \frac{31}{5} \end{aligned}$$

三重积分的定义

设 $\Omega$ 是 $\mathbf{R}^{3}$ 中的有界闭区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上有界，若有 $I \in \mathbf{R}$，对 $\Omega$ 作任意的分划为 $\Delta \Omega_{1}, \Delta \Omega_{2}, \cdots, \Delta \Omega_{n}$，以及 $\forall\left(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}\right) \in \Delta \Omega_{i}(i=1,2,\cdots,n)$，$\Delta V_{i}$ 为 $\Delta \Omega_{i}$ 的体积，和式

$$\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta V_{i}$$

有极限

$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta V_{i}=I$$

其中 $\lambda=\max_{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{d_{i}\right\}$（$d_{i}$ 是 $\Delta \Omega_{i}$ 的直径），则称函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上可积，极限值 $I$ 称为 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上的三重积分，记作

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=I$$

其中 $\iiint$ 是三重积分号，$\Omega$ 是积分区域，$f(x, y, z)$ 称为被积函数，$\mathrm{d} V$ 称为体积微元（或称体积元素）

三重积分的几何意义

空间物体 $\Omega$ 的质量可表示成其体密度函数 $\mu(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上的三重积分

$$m=\iiint_{\Omega} \mu(x, y, z) \mathrm{d} V$$

这给出了三重积分的物理意义

三重积分的性质

• 线性性
• 有限区域可加性
• 常函数二重积分
  • 若被积函数 $f \equiv 1$ 时，则二重积分的值等于积分区域 $D$ 的面积 $$A(D)=\iint_{D} 1 \mathrm{~d} \sigma$$
  • 当 $f \equiv 1$ 时，三重积分的值就等于积分区域 $\Omega$ 的体积
    $
    V(\Omega)=\iiint_{\Omega} 1 \mathrm{~d} V
    $
• 保序性
• 绝对可积性&绝对值不等式
• 估值不等式
• 乘积函数可积性
• 柯西（Cauchy·Schwarz）不等式
• 积分中值定理

三重积分的计算

汇总

• 先1后2 $$\begin{array}{l} \iint_{D_{xy}} \mathrm{d} x\mathrm{d} y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z) \mathrm{d} z\\ \iint_{D_{yz}} \mathrm{d} y\mathrm{d} z \int_{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)}f(x,y,z) \mathrm{d} x\\ \iint_{D_{zx}} \mathrm{d} z\mathrm{d} x \int_{y_1(z,x)}^{y_2(z,x)}f(x,y,z) \mathrm{d} y\\ \end{array}$$
• 先2后1 $$\begin{aligned} \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V &=\int_{z_{1}}^{z_{2}} \mathrm{d} z \iint_{D_{xy}} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\\ &=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \mathrm{d} x \iint_{D_{yz}} f(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z\\ &=\int_{y_{1}}^{y_{2}} \mathrm{d} y \iint_{D_{zx}} f(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x\\ \end{aligned}$$
• 三个1 $$\begin{aligned} \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V & = \int_{a}^{b} \mathrm{d} x \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)} \mathrm{d} y \int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z\\ & = \int_{c}^{d} \mathrm{d} y \int_{z_{1}(y)}^{z_{2}(y)} \mathrm{d} z \int_{x_{1}(y, z)}^{x_{2}(y, z)} f(x, y, z) \mathrm{d} x\\ & = \int_{e}^{f} \mathrm{d} z \int_{x_{1}(z)}^{x_{2}(z)} \mathrm{d} x \int_{y_{1}(z, x)}^{y_{2}(z, x)} f(x, y, z) \mathrm{d} y\\ \end{aligned}$$

直角坐标系下

三重积分可表为

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z$$

假定被积函数 $f(x,y,z)\in C(\Omega)$

柱线法（坐标面投影法）

设 $\Omega$ 是以曲面 $S_{1}: z=z_{1}(x, y)$ 为底，曲面 $S_{2}: z=z_{2}(x, y)$ 为顶，而侧面为母线平行 $z$ 轴的柱面所围成的区域，那么若 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域为 $D$ ，则 $\Omega$ 可表示为

$$\Omega=\left\{(x, y, z)| z_{1}(x, y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x, y),(x, y) \in D\right\}$$

此时积分可写成

$$\iint_D \mathrm{d} x\mathrm{d} y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z) \mathrm{d} z$$

若平面区域 $D$ 是 $x$ 型正则区域，即

$$D=\left\{(x, y)| y_{1}(x) \leqslant y \leqslant y_{2}(x), a \leqslant x \leqslant b\right\}$$

那么得到

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)} \mathrm{d} y \int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z$$

于是三重积分就化成了上述 $z, y, x$ 次序的累次积分，其积分区域为

$$\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x, y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x, y), z_{1}(x) \leqslant y \leqslant y_{2}(x), a \leqslant x \leqslant b\right\}$$

截面法（坐标轴投影法）

设区域 $\Omega$ 在 $z$ 轴上投影区间为 $\left[h_{1}, h_{2}\right]$, 即 $\Omega$ 介于两平面 $z=h_{1}$ 与 $z=h_{2}$ 之间

$$\begin{array}{l} D_z=\{(x,y)|\varphi_1(z)\leqslant g(x,y)\leqslant \varphi_2(z)\} \\ \Omega = \left\{(x, y, z)|(x, y) \in D_{z}, h_{1} \leqslant z \leqslant h_{2}\right\} \end{array}$$

从三重积分的物理意义可得

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\int_{h_{1}}^{h_{2}} \mathrm{d} z \iint_{D_{z}} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

三重积分计算的常用技巧

• 积分换序
• 积分区域划分
• 对称应用
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $x$ 轴对称时，若 $f(x,-y,-z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 0$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $x$ 轴对称时，若 $f(x,-y,-z)=f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \mathrm{d} V$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $y$ 轴对称时，若 $f(-x,y,-z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 0$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $y$ 轴对称时，若 $f(-x,y,-z)=f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \mathrm{d} V$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $z$ 轴对称时，若 $f(-x,-y,z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 0$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $z$ 轴对称时，若 $f(-x,-y,z)=f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \mathrm{d} V$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $xy$ 平面对称时，若 $f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 0$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $xy$ 平面对称时，若 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \mathrm{d} V$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $xz$ 平面对称时，若 $f(x,-y,z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 0$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $xz$ 平面对称时，若 $f(x,-y,z)=f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \mathrm{d} V$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $yz$ 平面对称时，若 $f(-x,y,z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 0$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于 $yz$ 平面对称时，若 $f(-x,y,z)=f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \mathrm{d} V$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于原点对称时，若 $f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 0$$
  • 当积分区域 $\Omega$ 关于原点对称时，若 $f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)$，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \mathrm{d} V$$
• 轮换对称性
  若 $\Omega$ 具有轮换对称性，则 $$\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(y,z,x) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(z,x,y) \mathrm{d} V$$
• 常用积分变换
• 补缺求全

三重积分的变量代换

设变换 $T: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)$ 将 $uvw$ 空间中有界闭区域 $\Omega^{\prime}$ 映射为 $xyz$ 空间中的有界闭区域 $\Omega$, 且满足

• $x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) \in C^{\prime}\left(\Omega^{\prime}\right)$
• $J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \neq 0,(u, v, w) \in \Omega^{\prime} $
• $f(x, y, z) \in C(\Omega)$
  则有 $$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z=\iiint_{\Omega} f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J| \mathrm{d} u \mathrm{d} v \mathrm{d} w$$ 其中 $$J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\left|\begin{array}{lll} x_{u} & x_{v} & x_{w} \\ y_{u} & y_{v} & y_{w} \\ z_{u} & z_{v} & z_{w} \end{array}\right|$$

柱坐标变换

柱面坐标的三个曲面簇：

• 圆柱簇（$r$为常数）：$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，决定点到 $z$ 轴的距离
• 半平面簇（$\theta$ 为常数）：表示所在平面与 $xOz$ 平面夹角
• 平面簇（z为常数）：$z=z$，表示高度

点的直角坐标与柱面坐标的关系是

$$\left\{\begin{array} {l} { x = r \cos \theta } \\ { y = r \sin \theta } \\ { z = z} \end{array}\right. \quad\text {其中 } \left\{\begin{array}{l} r \geqslant 0 \\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi \\ z \in \mathbb{R} \end{array}\right.$$

Jacobi行列式

$$J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=r$$

从而将三重积分化为柱面坐标系下三重积分

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega'} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z$$

进而可以化为

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iint_{D_{r\theta}} r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \int_{z_{1}(r, \theta)}^{z_{2}(r, \theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \mathrm{d} z$$

或者

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\int_{r_{1}}^{r_2} \mathrm{~d} z \iint_{D_{z}} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta$$

适用情况

被积函数 $f$ 含 $x^2+y^2$ 项；积分域 $V$ 与柱面或旋转抛物面有关。

球坐标变换

球面坐标的三个变量：

• 点到原点的距离 $r$
• 锥面与 $z$ 轴正向夹角 $\varphi$
• $xOy$ 平面上的投影向量与 $x$ 轴正向的夹角 $\theta$

点的直角坐标与球坐标的关系是

$$\left\{\begin{array} { l } { x = r \sin \varphi \cos \theta } \\ { y = r \sin \varphi \sin \theta } \\ { z = r \cos \varphi } \end{array}\right. \quad \text { 其中 } \left\{\begin{array}{l} r \geqslant 0 \\ 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi \\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi \end{array}\right.$$

Jacobi行列式

$$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \varphi, \theta)}=\left|\begin{array}{ccc} \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \cos \theta & -r \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta \\ \cos \varphi & -r \sin \varphi & 0 \end{array}\right|=r^{2} \sin \varphi$$

从而将三重积分化为球坐标系下三重积分

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega'} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta$$

当 $\Omega^{\prime}$ 可以表示为

$$\Omega^{\prime}=\left\{(r, \varphi, \theta) \mid r_{1}(\varphi, \theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\varphi, \theta),\varphi_{1}(\theta) \leqslant \varphi \leqslant \varphi_{2}(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta\right\}$$

球面坐标下的三重积分可化为先对 $r$ 后对 $\varphi$ 再对 $\theta$ 的三次积分，即

$$\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d} \theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} \mathrm{d} \varphi \int_{r_{1}(\varphi , \theta)}^{r_{2}(\varphi , \theta)} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta,r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r$$

广义球坐标变换

$$\left\{\begin{array} { l } { x = ar \sin \varphi \cos \theta } \\ { y = br \sin \varphi \sin \theta } \\ { z = cr \cos \varphi } \end{array}\right. \quad \text { 其中 } \left\{\begin{array}{l} r \geqslant 0 \\ 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi \\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi \end{array}\right.$$ $$|J|=abcr^2\sin\varphi$$

注意广义极坐标变换时，$\varphi,\theta$ 一般没有几何意义。

三重积分的定限原则

曲面面积

二元函数形式

设空间有界曲面 $S$ 的方程为

$$S:z=f(x, y),(x, y) \in D_{xy}$$

其中 $D_{xy}$ 是曲面 $S$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域，$f(x, y)$ 在 $D_{xy}$ 上具有连续的一阶偏导数，即曲面 $S$ 是光滑的

称 $\mathrm{d} S=\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \,\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ 为曲面 $S$ 的面积微元。将曲面面积记为 $S$，故有曲面面积公式

$$S=\iint_{D_{xy}} \mathrm{d} S=\iint_{D_{xy}} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \,\mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

类似地，当曲面方程为 $x=x(y, z)$ 或 $y=y(z, x)$ 时，可分别把曲面投影到 $yOz$ 平面上（投影区域记为 $D_{yz}$） 或 $zOx$ 平面上（投影区域记为 $D_{zx}$），得到

$$S=\iint_{D_{yz}} \sqrt{1+x_{y}^{2}+x_{z}^{2}} \,\mathrm{d} y \mathrm{d} z \text { 或 } S=\iint_{D_{zx}} \sqrt{1+y_{z}^{2}+y_{x}^{2}} \,\mathrm{d} z \mathrm{d} x$$

使用投影区域积分表示

设 $D_{xy}$ 是曲面 $S$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域，$\boldsymbol{n}=(z_x,z_y,-1)$ 是曲面的切平面的一个法向量，$\boldsymbol{k}=(0,0,1)$ 是 $z$ 方向上的单位向量，则

$$S=\iint_{D_{xy}} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{d} y}{|\cos\left\langle\boldsymbol{n}, \boldsymbol{k}\right\rangle|}$$

类似地，当曲面方程为 $x=x(y, z),(y, z) \in D_{y z}$ 或 $y=y(z, x),(z ,x) \in D_{z x}$ 时，

$$S=\iint_{D_{y z}} \frac{\mathrm{d} y \mathrm{d} z}{|\cos\left\langle\boldsymbol{n}, \boldsymbol{i}\right\rangle|}=\iint_{D_{z x}} \frac{\mathrm{d} z \mathrm{d} x}{|\cos\left\langle\boldsymbol{n}, \boldsymbol{j}\right\rangle|}$$

双参数形式

若曲面 $S$ 的方程为双参数形式

$$\left\{\begin{array}{l} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \\ z=z(u, v) \end{array}\right. \quad(u, v) \in D_{u v}$$

写成向量形式为

$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \quad(u, v) \in D_{u,v}$$

其中 $x, y, z$ 对 $u, v$ 具有连续偏导数，且 $\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}$,$\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}$,$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ 至少有一个不等于零，此时称曲面 $S$ 是光滑曲面

曲面 $S$ 的一个法向量为

$$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}=\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)$$

曲面的面积为

$$\begin{align} S &=\iint_{D}\left|\boldsymbol{n}\right| \,\mathrm{d} r \mathrm{d} v\\ &=\iint_{D}\left|\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}\right| \,\mathrm{d} r \mathrm{d} v\\ &=\iint_{D} \sqrt{EG-F^{2}} \,\mathrm{d} r \mathrm{d} v\\ \end{align}$$

其中 $E=\boldsymbol{r}_{u} \cdot \boldsymbol{r}_{u}$ , $F=\boldsymbol{r}_{u} \cdot \boldsymbol{r}_{v}$ , $G=\boldsymbol{r}_{v} \cdot \boldsymbol{r}_{v}$，称为曲面的 Gauss 系数。

物体的质心

设有一平面薄片占有 $xOy$ 平面上的有界闭区域 $D$，它的面密度函数为 $\mu(x,y)$，这里 $\mu(x, y)>0$

质心位置的计算式

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{\iint_{D} x \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}, \quad \bar{y}=\frac{M_{x}}{m}=\frac{\iint_{D} y \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma}$$

均质薄片

特别地，当平面薄片的质量均匀分布即面密度 $\mu(x, y)$ 为常数时，薄片的质心称为其所占区域 $D$ 的形心，其坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为

$$\bar{x}=\frac{1}{A_{D}} \iint_{D} x \mathrm{d} \sigma, \quad \bar{y}=\frac{1}{A_{D}} \iint_{D} y \mathrm{d} \sigma$$

其中 $A_{D}$ 是区域 $D$ 的面积

三维物体

类似可得，若占据空间区域 $\Omega$ 的物体的体密度为 $\mu(x, y, z)$，那么物体的质心（重心）坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 的计算公式为

$$\left\{ \begin{array}{l} \bar{x}=\frac{1}{m} \iiint_{\Omega} x \mu(x, y, z) \mathrm{d} V\\ \bar{y}=\frac{1}{m} \iiint_{\Omega} y \mu(x, y, z) \mathrm{d} V\\ \bar{z}=\frac{1}{m} \iiint_{\Omega} z \mu(x, y, z) \mathrm{d} V\\ \end{array} \right.$$

其中 $m$ 是物体的质量

$$m=\iiint_{\Omega} \mu(x, y, z) \mathrm{d} V$$

转动惯量

若平面薄片占据 $xOy$ 平面上的有界闭区域 $D$，面密度为 $\mu(x, y)$，薄片绕 $x$ 轴，$y$ 轴及坐标原点 $O$ 旋转的转动惯量 $I_{x}, I_{y}, I_{O}$ 分别是它关于 $x$ 轴，$y$ 轴及坐标原点 $O$ 的二阶矩，类似于一阶矩，容易得到 $I_{x}, I_{y}, I_{O}$ 的重积分表达式

$$\begin{array}{c} I_{x}=\iint_{D} y^{2} \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma,\quad I_{y}=\iint_{D} x^{2} \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma, \\ I_{O}=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma=I_{x}+I_{y} \end{array}$$

同样，占据区域 $\Omega$，体密度为 $\mu(x, y, z)$ 的空间物体对三个坐标轴及坐标原点的转动惯量分别为

$$\begin{array}{c} I_{x}=\iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} V\\ I_{v}=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+x^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} V\\ I_{z}=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} V\\ I_{O}=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} V \end{array}$$

引力

设一物体占据空间闭区域 $\Omega$，其体密度为 $\mu(x, y, z)$，$\Omega$ 外有一质点 $M_{0}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$，其质量为 $m_{0}$。

物体对质点 $M_{0}$ 的引力为 $\boldsymbol{F}=(F_x,F_y,F_z)$

其中

$$\begin{array}{c} F_{x}=\iiint_{\Omega} \frac{G m_{0} \mu(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{r^{3}} \,\mathrm{d} V\\ F_{y}=\iiint_{\Omega} \frac{G m_{0} \mu(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{r^{3}} \,\mathrm{d} V\\ F_{z}=\iiint_{\Omega} \frac{G m_{0} \mu(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{r^{3}} \,\mathrm{d} V \end{array}$$

第十章 曲线积分和曲面积分

第一类曲线积分

定义

设 $C$ 是 $xOy$ 平面内以 $A, B$ 为端点的光滑曲线，函数 $f(x,y)$ 在 $C$ 上有界. 在 $C$ 上任意插入分点 $A=A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{n-1}, A_{n}=B$，将其分成 $n$ 个小弧段，记第 $i$ 个小弧段 $\overparen{A_{i-1} A_{i}}$ 的弧长为 $\Delta s_{i}, \lambda=\max_{1 \leq i \leq n} \left\{ \Delta s_{i}\right\}$. 任取 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \overparen{A_{i-1} A_{i}}(i=1,2,\cdots,n)$，作和

$$\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i}$$

如果 $\lambda \rightarrow 0$ 时，上述和式的极限存在，则称 $f(x, y)$ 在曲线 $C$ 上可积，并将此极限称为数量值函数 $f(x, y)$ 在曲线 $C$ 上的曲线积分, 或称为第一类曲线积分，记作 $\int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s$，即

$$\int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i}$$

其中 $f(x, y)$ 称为被积函数，$C$ 称为积分路径，$\mathrm{d} s$ 称为弧长微元（或弧长元素）
第一类曲线积分 $\int_{c} f(x, y) \mathrm{d} s$ 也称为函数 $f(x, y)$ 对弧长的曲线积分。

物理意义

以 $\mu(x, y)$ 为线密度的质线 $C$ 的质量可表示为

$$m=\int_{C} \mu(x, y) \mathrm{d} s$$

几何意义

以曲线 $C$ 为准线，高度为 $h(x, y)$ 的柱面 $S$ 的面积可表示为

$$A=\int_{C} h(x, y) \mathrm{d} s$$

特殊的第一类曲线积分

当 $f(x, y) \equiv 1$ 时，

$$\int_{C} \mathrm{~d} s=s_{C}$$

其中 $s_{C}$ 表示曲线 $C$ 的弧长.

封闭曲线积分符号

如果 $C$ 为封闭曲线，即 $C$ 的两个端点重合，这时常将 $f(x, y)$ 在 $C$ 上的第一类曲线积分记为

$$\oint_{C} f(x, y) \mathrm{d} s$$

第一类曲线积分存在的条件

类似于定积分的存在条件，当函数 $f(x, y)$ 在光滑曲线 $C$ 上连续，或者 $f(x, y)$ 在 $C$ 上有界并且只有有限多个间断点时，曲线积分 $\int f(x, y) \mathrm{d} s$ 存在

第一类曲线积分的性质

• 方向无关性
  第一类曲线积分与积分路径的方向无关，即若 $f(x, y)$ 在曲线 $C=\overparen{A B}$ 上可积，那么 $$\int_{\overparen{AB}} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\overparen{BA}} f(x, y) \mathrm{d} s$$
• 线性性
  若 $f,g$ 均在曲线 $C$ 上可积，则对常数 $\alpha,\beta$，函数 $\alpha f+ \beta g$ 在 $C$ 上也可积，且有 $$\int_{C}[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] \mathrm{d} s=\alpha \int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s+\beta \int_{C} g(x, y) \mathrm{d} s$$
• 路径可加性
  设曲线 $C$ 由 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 首尾相接而成，则 $f$ 在 $C$ 上可积等价于 $f$ 在 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上同时可积，且有 $$\int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{C_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s+\int_{C_{2}} f(x, y) \mathrm{d} s$$
• 中值定理
  设函数 $f$ 在光滑曲线 $C$ 上连续,则 $\exists(\xi, \eta) \in C$, 使得 $$\int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s=f(\xi, \eta) s_{C}$$
• 被积函数中的变量 $x,y$ 在曲线 $C$ 上有意义，满足曲线方程。

第一类曲线积分的计算

设曲线 $C$ 的参数方程为

$$\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.$$

其中 $x(t), y(t)$ 具有连续导数，且 $x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t) \neq 0$（即 $C$ 为光滑曲线），那么 $C$ 是可求长的。
函数 $f(x, y)$ 在 $C$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $C$ 上的第一类曲线积分存在，且

$$\int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t)) \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \quad(\alpha<\beta)$$

• 此处定积分的下限一定要小于上限
• 特别地，当曲线 $C$ 的方程为 $y=y(x), x \in[a, b]$ 时，有 $$\int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{a}^{b} f(x, y(x)) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x \quad(a<b)$$
• 在极坐标情况下，当曲线 $C$ 的方程为 $r=r(\theta), \theta \in[\alpha, \beta]$ 时，有 $$\int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\alpha}^{\beta} f(r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin\theta) \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} \mathrm{d} \theta \quad(\alpha<\beta)$$

第一类曲线积分计算的常用技巧

• 原点对称
• 轴对称
• 轮换对称
• 积分区域划分

第一类曲面积分

定义

设函数 $f(x, y, z)$ 是定义在光滑曲面 $\Sigma$ 上的有界函数，用曲线网将曲面 $\Sigma$ 分割成 $n$ 块小曲面片 $\Delta \Sigma_{i}(i=1,2, \cdots, n)$. 记第 $i$ 块小曲面片的面积为 $\Delta S_{i}, \lambda=\max_{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{d_{i} \right\}$（$d_{i}$ 为 $\Delta \Sigma_{i}$ 的直径)，任取点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \in \Delta \Sigma_{i}$，作和式

$$\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}$$

如果 $\lambda \rightarrow 0$ 时，上述和式的极限存在，则称此极限为数量值函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上的曲面积分，或称为第一类曲面积分，记作 $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$，即

$$\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}$$

其中 $f(x,y,z)$ 称为被积函数，$\Sigma$ 称为积分曲面，$\mathrm{d} S$ 称为曲面面积微元（或曲面面积元素）
函数 $f(x ,y,z)$ 的第一类曲面积分也称为 $f(x,y,z)$ 对面积的曲面积分。

物理意义

面密度是 $\mu(x, y, z)$ 的物质曲面 $\Sigma$ 的质量为

$$m=\iint_{\Sigma} \mu(x, y, z) \mathrm{d} S$$

特殊的第一类曲面积分

由定义可知，当 $f(x, y, z) \equiv 1$ 时，

$$\iint_{\Sigma} \mathrm{d} S=S_{\Sigma}$$

其中 $S_{\Sigma}$ 是曲面 $\Sigma$ 的面积

封闭曲面积分符号

当 $\Sigma$ 为封闭曲面时，曲面积分常写成

$$\iint_{\Sigma}\kern{-18.8pt}\subset\kern{-2pt}\supset f(x, y, z) \mathrm{d} S$$

第一类曲面积分存在的条件

与曲线积分存在性类似，当函数 $f(x, y, z)$ 在光滑（或分片光滑）曲面 $\Sigma$ 上连续时，曲面积分 $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 一定存在。

第一类曲面积分的性质

• 线性性
• 中值定理
• 被积函数中的变量 $x,y$ 在曲线 $C$ 上有意义，满足曲线方程。

第一类曲面积分的计算

设光滑曲面 $\Sigma$ 的参数方程为

$$\left\{\begin{array}{l} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \\ z=z(u, v) \end{array}\right. \quad(u, v) \in D_{u v}$$

这里 $D_{uv}$ 是 $uv$ 平面上的有界区域。如果函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，那么 $f$ 在曲面 $\Sigma$ 上的第一类曲面积分存在，且有计算公式

$$\begin{aligned} \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S & = \iint_{D_{u v}} f[x(u, v), y(u, v), z(u, v)] \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \mathrm{~d} u \mathrm{d} v\\ & = \iint_{D_{u v}} f[x(u, v), y(u, v), z(u, v)] \sqrt{EG-F^2} \mathrm{~d} u \mathrm{d} v \end{aligned}$$

其中

$$A=\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \quad B=\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \quad C=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$$ $$E=x_{u}^{2}+y_{u}^{2}+z_{u}^{2}, \quad F=x_{u} x_{v}+y_{u} y_{v}+z_{u} z_{v},\quad G=x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+z_{v}^{2}$$

• 向量形式
  若曲面 $\Sigma$ 用双参数的定位向量形式表示

  $$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \quad(u, v) \in D_{u v}$$

  那么

  $$S=\left|\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}\right| \mathrm{d} u \mathrm{d} v$$

• 特殊地，若曲面 $\Sigma$ 的方程为 $z=z(x, y), \quad(x, y) \in D_{x y}$，其中 $D_{x y}$ 是 $\Sigma$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域，则有

  $$\mathrm{d} S=\left|\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y}\right| \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$$

  于是得到计算公式

  $$\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{\mathrm{xy}}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$$

第二类曲线积分

定义

设 $C=\overparen{AB}$ 是 $xOy$ 面上一条光滑定向曲线，向量值函数

$$\boldsymbol{F}(x, y)=P(x, y) \boldsymbol{i}+Q(x, y) \boldsymbol{j}$$

在 $C$ 上有界，$e_{\tau}(x, y)$ 为曲线 $C$ 在点 $M(x, y)$ 处与 $\overparen{AB}$ 方向一致的单位切向量. 如果曲线积分

$$\int_{C}\left[\boldsymbol{F}(x, y) \cdot \boldsymbol{e}_{\tau}(x, y)\right] \mathrm{d} s$$

存在，则称之为向量值函数 $\boldsymbol{F}(x,y)$ 在定向曲线 $C$ 上的曲线积分，或称为第二类曲线积分，也记为

$$\int_{C} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$$

其中 $\boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}$ 即 $\boldsymbol{r}=(x, y), \mathrm{d} \boldsymbol{r}$ 称为定向弧微分

与第一类曲线积分的关系

若记 $\boldsymbol{e}_{\tau}(x, y)=(\cos \alpha, \cos \beta)=(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} s},\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} s})$，则有

$$\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{e}_{\tau}(x, y) \mathrm{d} s$$

于是得到第二类曲线积分的坐标形式

$$\begin{align} \int_{C} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} &=\int_{C} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y\\ &=\int_{C} \left(P(x, y) \cos\alpha +Q(x, y) \cos\beta\right) \mathrm{d} s \end{align}$$

物理意义

设有一个质点在连续变化的力场

$$\boldsymbol{F}(x, y)=P(x, y) \boldsymbol{i}+Q(x, y) \boldsymbol{j}$$

的作用下从点 $A$ 沿光滑平面曲线 $C$ 移动到点 $B$，上述移动过程中变力 $F$ 所做的功即为

$$W=\int_{C} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$$

积分符号

若 $C$ 为定向封闭曲线，则与第一类曲线积分一样可把积分号写成 $\oint_C$ 的形式

第二类曲线积分的性质

• 方向相关性 $$\int_{C^{+}} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=-\int_{C^{-}} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$$
• 线性性
• 对定向积分路径的可加性

第二类曲线积分的计算

设平面光滑曲线 $C$ 的参数方程为

$$\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array}\right. \quad t: \alpha \rightarrow \beta$$

这里 $t: \alpha \rightarrow \beta$ 表示起点对应的参数为 $\alpha$，终点对应的参数为 $\beta$
再设向量值函数

$$\boldsymbol{F}(x, y)=P(x, y) \boldsymbol{i}+Q(x, y) \boldsymbol{j}$$

在 $C$ 上连续，则有

$$\begin{aligned} \int_{C} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} &=\int_{C} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \\ &=\int_{\alpha}^{\beta} \left(P(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right) \mathrm{d} t \end{aligned}$$

• 特别地，如果平面光滑曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $y=y(x), x: a \rightarrow b$，向量值函数

  $$\boldsymbol{F}(x, y)=P(x, y) \boldsymbol{i}+Q(x, y) \boldsymbol{j}$$

  在 $C$ 上连续，那么把 $x$ 看成参数，得到

  $$\int_{C} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{a}^{b}\left[P(x, y(x))+Q(x, y(x)) y^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x$$

• 若 $C$ 为平面闭曲线，可适当选取起点并规定正方向。当沿曲线 $C$ 环行时，闭曲线所围成区域始终保持在环行者左侧，则行进方向为正，记为 $C^{+}$，反之为负向，记为 $C^{-}$

第二类曲线积分值与路径的相关性

第二类曲面积分

双侧曲面的定义

设 $\Sigma$ 是一张光滑曲面，$P$ 是 $\Sigma$ 上任一点。在点 $P$ 曲面有两个方向相反的法向量 $n$ 和 $-n$，选定其中的 $n$。当点 $P(x, y)$ 在 $\Sigma$ 上连续变动时，相应地，法向量 $\boldsymbol{n}(x, y)$ 也随之连续变动。若点 $P$ 沿 $\Sigma$ 上任何不越过曲面边界的连续闭曲线移动后回到起始位置时，法向量 $n$ 保持原来的指向，则称 $\Sigma$ 为双侧曲面。

• 著名的 Möbius 带就是一个非双侧曲面的例子

曲面的侧

曲面 $\Sigma$ 的法向量可用其方向余弦组成的单位向量 $\boldsymbol{n}^{0}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 来表示。

• $\cos\gamma>0$ 的一侧称为曲面的上侧，另一侧称为下侧
• $\cos \beta>0$ 的一侧称为曲面的右侧，另一侧称为左侧
• $\cos\alpha>0$ 的一侧称为曲面的前侧，另一侧称为后侧
• 若 $\Sigma$ 是一个封闭的光滑曲面，它指向其所围的有界区域的曲面的一侧称为曲面的内侧，另一侧称为曲面的外侧
• 曲面的上侧/右侧/前侧/外侧的方向为曲面的正向，记为 $\Sigma^{+}$
• 曲面的下侧/左侧/后侧/内侧的方向为曲面的负向，记为 $\Sigma^{-}$

第二类曲面积分的定义

设 $\Sigma$ 是光滑（或分片光滑）的定侧曲面，向量值函数

$$\boldsymbol{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k}$$

在 $\Sigma$ 上有界，$\boldsymbol{n}^{0}(x, y, z)$ 为定侧曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量。如果曲面积分

$$\iint_{\Sigma}\left(\boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \boldsymbol{n}^{0}(x, y, z)\right) \mathrm{d} S$$

存在，则称之为向量值函数 $F(x, y, z)$ 在定侧曲面 $\Sigma$ 上的曲面积分，或称为第二类曲面积分，也称为通量积分。

若引进记号

$$\mathrm{d} \boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}^{0} \mathrm{~d} S$$

则第二类曲面积分可记为

$$\iint_{\Sigma} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

其中 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 称为定侧曲面微元
由于

$$\mathrm{d} \boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}^{0} \mathrm{~d} S=(\cos \alpha \mathrm{d} S, \cos \beta \mathrm{d} S, \cos \gamma \mathrm{d} S)=(\mathrm{d} y \mathrm{d} z, \mathrm{d} z \mathrm{d} x, \mathrm{d} x \mathrm{d} y)$$

这里 $\mathrm{d} y \mathrm{d} z, \mathrm{d} z \mathrm{d} x$ 和 $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ 是 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 的坐标，即 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 分别在 $yOz$ 平面，$zOx$ 平面和 $xOy$ 平面上的投影。于是第二类曲面积分也记为

$$\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

上述积分表示三个坐标面上积分的组合，即为

$$\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z+\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x+\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

因此第二类曲面积分也称为对坐标的曲面积分

物理意义

如果 $\boldsymbol{F}(x, y, z)$ 代表空间某点的电场强度或磁场强度，则曲面积分表示单位时间内通过定向曲面 $\Sigma$ 的电通量或磁通量

特殊的第二类曲面积分

• 如果 $\Sigma$ 是母线平行于 $z$ 轴的定侧光滑柱面（$\Sigma$ 在 $xOy$ 平面内的投影为光滑曲线），那么其法向量 $(A, B, C)$ 平行于 $xOy$ 平面，即 $C=0$，因此有 $$\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=0$$
• 同样地，如果 $\Sigma$ 是母线分别平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的定侧光滑柱面，则有 $$\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z=0 \text { 或 } \iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x=0$$

与第一类曲面积分的关系

由定义可知

$$\iint_{\Sigma} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iint_{\Sigma}\left(\boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \boldsymbol{n}^{0}(x, y, z)\right) \mathrm{d} S$$

或者

$$\begin{aligned} & \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ =& \iint_{\Sigma}[P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma] \mathrm{d} S \end{aligned}$$

第二类曲面积分的性质

• 方向相关性 $$\iint_{\Sigma^{+}} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-\iint_{\Sigma^{-}} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$
• 线性性
• 轮换对称性
• 曲面分块的可加性
• 被积函数中的变量在曲面 $\Sigma$ 上有意义，满足曲面方程

封闭曲面积分符号

如果 $\Sigma$ 为封闭曲面，则可以将 $\boldsymbol{F}(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上的第一类曲线积分记为

$$\iint_{\Sigma}\kern{-18.8pt}\subset\kern{-2pt}\supset \boldsymbol{F}(x, y, z) \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

第二类曲面积分的计算

一般方法

设定侧光滑曲面 $\Sigma$ 的参数方程为

$$x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v),(u, v) \in D$$

其中 $D$ 为 $uv$ 平面上具有分段光滑边界的有界区域
我们已经知道，$\Sigma$ 在对应参数为 $(u, v)$ 的点处的法向量为

$$(A, B, C)=\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)$$

设向量值函数

$$\boldsymbol{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k}$$

在 $\Sigma$ 上连续，则有公式

$$\iint_{\Sigma} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\pm \iint_{D}(P A+Q B+R C) \mathrm{d} u \mathrm{d} v$$

其中积分号前正负号的选取应与曲面 $\Sigma$ 的定侧相对应

同向合成计算法

分别向三个平面投影

$$\begin{align} &\iint_{\Sigma} P\mathrm{d} y \mathrm{d} z+ Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x+ R \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ =& \iint_{D_{yz}} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z+ \iint_{D_{zx}} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x+ \iint_{D_{xy}} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \end{align}$$

合一投影法

特别地，如果定侧光滑曲面 $\Sigma$ 以显式方程

$$z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$$

给出，其中 $D_{xy}$ 是曲面 $\Sigma$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域。那么可视 $x,y$ 为曲面 $\Sigma$ 的参数，此时法向量为

$$(A, B, C)=\left(-z_{x},-z_{y}, 1\right)$$

因此有

$$\iint_{\Sigma} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z+Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x+R \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\pm \iint_{D_{xy}}\left(-P z_{x}-Q z_{y}+R\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

其中积分号前的符号当 $\Sigma$ 取上侧时为正，当 $\Sigma$ 取下侧时为负，而被积函数中的 $z$ 为 $z(x, y)$。此时积分于曲面在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D_{xy}$ 进行，称为合一投影法

Green公式

连通区域

设 $D$ 为平面区域，若区域 $D$ 内的任意一条封闭曲线所围成的区域都在 $D$ 内，则称区域 $D$ 称为单连通的，否则称 $D$ 为复连通的

曲线的方向

当动点沿区域 $D$ 的边界 $C$ 向一个方向行进时，其邻近处的 $D$ 总是在它的左侧，将此方向规定为闭曲线 $C$ 的正向，赋予了正向的边界曲线记为 $C^{+}$，与 $C^{+}$ 方向相反的有向边界曲线记为 $C^{-}$

Green公式

设 $D$ 为平面有界闭区域，其边界 $C$ 由分段光滑曲线组成，若函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上有连续的偏导数，则有公式

$$\oint_{C^{+}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

注意：

• Green公式是定积分中Newton-Leibnitz公式的推广
• 当 $D$ 是由多条闭曲线所围成的复连通区域时，Green公式的左端应包括沿 $D$ 的全部边界的曲线积分，而且每条闭曲线上的积分方向相对于 $D$ 来说都是正向的.
• $\partial D$ 必须为闭曲线
• $P,Q$ 在 $D$ 上有连续偏导数

Green公式的应用技巧

用曲线积分表示的平面区域面积

如果我们取 $P(x, y)=-y, Q(x, y)=x$，则有 $\frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{\partial P}{\partial y}=1$，这时应用Green公式可得用曲线积分表示的平面区域 $D$ 的面积公式

$$A_{n}=\iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y=-\oint_{C^{+}} y \mathrm{~d} x=\oint_{C^{+}} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \oint_{C^{+}} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$$

非封闭曲线情况

由于曲线 $C$ 不封闭，不能直接使用Green公式，需先添加定向曲线使其封闭，再使用 Green公式

环绕原点定值积分

设 $C$ 是任意一条不经过原点 $O$ 的光滑闭曲线，并取逆时针方向，则有

$$\oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { 当 } C \text { 不环绕原点 } \\ 2 \pi, & \text { 当 } C \text { 环绕原点 } \end{array}\right.$$

• 证明时，需要挖去不满足“有连续偏导数”的点，挖去的形状要能简化被积函数使其满足“有连续偏导数”。

平面曲线积分与路径无关的条件

曲线积分与路径无关的定义

设函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在区域 $D$ 内连续，若对 $D$ 内任意两点 $A,B$，以及在 $D$ 内连接 $A, B$ 的任一条分段光滑曲线 $C$，积分值 $\int_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 仅与 $C$ 的两端点 $A, B$ 有关而与积分路径 $C$ 无关，则称曲线积分 $\int_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $D$ 内与路径无关

路径无关的等价条件

设函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 上有连续的偏导数，则以下四个条件互相等价：

1. 对 $D$ 内的任一条分段光滑闭曲线 $C$，有 $$\oint_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$$
2. 曲线积分 $\int_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $D$ 内与路径无关
3. 存在 $D$ 上的可微函数 $u(x, y)$，使得 $$\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$$ 即 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是 $u(x, y)$ 的全微分，此时称 $u(x, y)$ 为 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $D$ 上的一个原函数
4. 等式 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 内处处成立

• 条件(4)是判断积分与路径无关的判据。
• 积分与路径无关，通常取下列路径：
  • 平行坐标轴的直线段
  • 路径上没有奇点的直线段
  • 有利于被积函数简化的曲线
• 实际解题时，计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，取相等部分，则它们的积分与路径无关，可简化计算，剩余部分按照第二类曲线积分的方法计算。

全微分求积

设函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内具有连续的偏导数。如果在 $D$ 内恒成立等式

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},$$

那么微分式 $P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y$ 在 $D$ 上存在原函数，且一个原函数的求法是：取定 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$

$$u(x, y)=\int_{\left(x_{0}, v_{0}\right)}^{(x, y)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y, \quad(x, y) \in D$$

从而其全体原函数为 $u(x, y)+C$。我们把求 $P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y$ 的原函数的过程称为全微分求积

全微分方程

若 $P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y$ 是某个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，则称一阶微分方程

$$P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$$

为全微分方程
由前面的讨论知道，上述方程为全微分方程当且仅当在某个单连通区域 $D$ 内满足 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$. 而全微分方程的求解可以先求出 $P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y$ 的一个原函数 $u(x, y)$，然后就得到其通解

$$u(x, y)=C$$

若 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$ 不是全微分方程，但当方程两端乘函数 $\mu(x, y)$ 后，

$$\mu(x, y) P(x, y) \mathrm{d} x+\mu(x, y) Q(x, y) \mathrm{d} y=0$$

为全微分方程，这时我们称 $\mu(x, y)$ 为原微分方程的一个积分因子。一般说来，简单的积分因子可通过观察法得到。常用的积分因子有

$$\frac{1}{x^{2}}, \quad \frac{1}{y^{2}}, \quad \frac{1}{x y}, \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, \frac{1}{x^{2} y^{2}}, \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$ $$y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y: \left\{\begin{array}{l} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{y^{2}}=\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right) \\ \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}}=-\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}=\mathrm{d}\left(\arctan \frac{x}{y}\right) \\ \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x y}=\mathrm{d}\left(\ln \left|\frac{x}{y}\right|\right) \end{array}\right.$$

Gauss公式

设空间闭区域 $\Omega$ 由光滑或分片光滑的曲面 $S$ 所围成，向量值函数

$$\boldsymbol{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$$

在 $\Omega$ 上具有连续的偏导数，则有

$$\iint_{S^{+}}\kern{-18.8pt}\subset\kern{-2pt}\supset P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V$$

其中 $S^{+}$ 表示 $\Omega$ 的边界曲面的外侧

• Gauss 公式揭示了空间区域 $\Omega$ 上三重积分与其边界 $S^{+}$ 上曲面积分之间的内在联系，它是Green公式的一个推广，因此也是Newton-Leibniz公式在三维情况下的推广
• 利用 Gauss 公式立刻可以得到空间区域 $\Omega$ 的体积计算公式 $$V_{\Omega}=\frac{1}{3} \iint_{S^{+}}\kern{-18.8pt}\subset\kern{-2pt}\supset x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$ 其中 $S^{+}$ 表示 $\Omega$ 的边界曲面的外侧

通量和散度

设有向量场

$$\boldsymbol{F}=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k},(x, y, z) \in \Omega$$

其中 $P, Q, R$ 具有一阶连续偏导数，$\Sigma$ 为场中的定侧曲面，则称曲面积分

$$\Phi=\iint_{\Sigma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} S$$

为向量场 $F$ 通过定侧曲面 $\Sigma$ 的通量.
若 $M(x, y, z)$ 为这个场中任一点，则称

$$\nabla \cdot \boldsymbol{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

为向量场 $\boldsymbol{F}$ 在点 $M(x, y, z)$ 处的散度，记为 $\operatorname{div} \boldsymbol{F}$，即

$$\operatorname{div} \boldsymbol{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

显然，向量场 $F$ 的散度 $\operatorname{div} F$ 是一个数量场，称为散度场。利用散度来表 Gauss 公式，可以写成如下形式

$$\iint_{S^{+}}\kern{-18.8pt}\subset\kern{-2pt}\supset F \cdot \mathrm{d} S=\iiint_{\Omega} \operatorname{div} \boldsymbol{F} \mathrm{d} V$$

它表明向量场 $\boldsymbol{F}$ 通过有向闭曲面 $S$ 的通量等于它的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{F}$ 在由 $S$ 包围的区域 $\Omega$ 上的三重积分
因此 Gauss 公式也称为散度公式或散度定理

Stokes公式

环量和旋度

第十一章 级数

数项级数

定义

给定数列 $\left\{a_{n}\right\}$，我们称和式

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots$$

为无穷级数，简称级数。和式中的每一项称为级数的项，$a_{n}$ 称为级数的通项或者一般项。
称有限项和

$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$$

为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $n$ 项部分和；称无穷项和 $\sum_{n=k+1}^{\infty} a_{n}$ 为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的余项级数

收敛和发散

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的部分和数列 $\left\{S_{n} \right\}$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且收玫到 $S$。当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛时，通常把 $\left|S_{n}\right|$ 的极限 $S$ 称为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的和，并记为

$$S=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$$

若 $\left\{S_{n}\right\}$ 发散，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散

基本性质

性质1（线性性）

• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛到 $S$，$c$ 为任意常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c a_{n}$ 收敛到 $c S$
• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 分别收敛到 $S$ 和 $T$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)$ 收敛到 $S \pm T$

性质2

将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散。

性质3

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛到 $S$，则将其相邻若干项加括号所得新级数仍然收敛到 $S$

• 逆否命题可以用来证明级数发散
• 逆命题不成立

性质4（级数收敛的必要条件）

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则

$$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$$

• 性质4的逆否命题可以用来判断级数发散
• 性质4只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件

正项级数

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的一般项 $a_{n} \geqslant 0\left(n \in \mathbf{Z}^{+}\right)$，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数

对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$，其部分和数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 显然是单调增加的

交错级数

各项正负相间的级数，即形如 $\pm \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}\left(a_{n}>0\right)$ 的级数称为交错级数

级数的敛散性判断

收敛原理

正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛的充要条件是其部分和数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 有上界

• 推论：若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}=+\infty$

比较判别法

若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均是正项级数，且 $\exists k>0, \exists N \in \mathbf{Z}^{+}$，使得当 $n>N$ 时，

$$a_{n} \leqslant kb_{n}$$

那么，

• 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛

• 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散

• 推论1：设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$，若 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leqslant \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$, $\forall n \in \mathbb{N}$，那么，

  • 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛
  • 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散

• 推论2：设 $a_{n} \geqslant 0$ 且 $b_{n}>0\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，又 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=l$，那么

  • 当 $0<l<+\infty$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 有相同的敛散性
  • 当 $l=0$ 时，若 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛
  • 当 $l=+\infty$ 时，若 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散

等价量法

对正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$，若有 $c>0$ 使得 $a_{n} \sim \frac{c}{n^{p}}(n \rightarrow \infty)$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 同敛散

p-判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{p} a_{n}=l$，那么

• 当 $0 \leqslant l<+\infty$，且 $p>1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛
• 当 $0<l \leqslant+\infty $，且 $p \leqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散

比值判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$，那么

• 当 $0 \leqslant l<1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛
• 当 $1<l \leqslant+\infty$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散
• 当 $l=1$ 时，比值判别法失效
• 注意比值判别法中的 $\lim$

根值判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=l$，那么

• 当 $0 \leqslant l<1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛
• 当 $1<l \leqslant+\infty$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散
• 当 $l=1$ 时，根值判别法失效
• 根值法的本质也是等比级数为比较级数的比较判别法
• 逆命题不成立，正项级数 $\sum a_{n} $收敛不能推出 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}<1$

积分判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，若：

• 非负函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调减少
• $\forall n \in \mathbf{Z}^{+}$，有 $a_{n}=f(n)$

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 有相同的敛散性

Leibniz判别法

若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 满足：

• $0<a_{n+1} \leqslant a_{n}\left(n \in \mathbf{Z}^{+}\right)$
• $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，且其余项级数满足 $|R_n|=|S-S_n|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}(-1)^{k-1} a_{k}\right| \leqslant a_{n+1}$

A-D判别法

若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足下列两组条件之一, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛：

• （Abel 判别法）$\left\{a_{n}\right\}$ 单调且有界, $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛
• （Dirichlet 判别法）$\left\{a_{n}\right\}$ 单调且趋于 $0$，$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的部分和数列 $\left\{\sum_{k=1}^{n} b_{k}\right\}$ 有界

绝对收敛与条件收敛

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是任意项级数

• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛

• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛

• 条件收敛的级数不满足加法交换律.

• 绝对收敛的级数交换其各项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且其和不变
• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 必收敛。
• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 未必收敛
• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 未必发散
• 若用比值法或根值法判定 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散，则 $\sum \left|a_{n}\right|$ 不趋于 $0$

• 若用比值法或者根值法判定 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散，则 $\sum a_{n}$ 必发散

• $\sum a_{n}$ 收敛，$\sum (-1)^n a_{n}$ 不一定收敛（反例：$\sum (-1)^n \frac{1}{n}$）

• 正项级数 $\sum a_{n}$ 收敛，$\sum (-1)^n a_{n}$ 一定收敛
• $\sum a_{n}$ 收敛，$\sum a_{n}^2$ 不一定收敛（反例：$\sum (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$）
• 正项级数 $\sum a_{n}$ 收敛，$\sum a_{n}^2$ 一定收敛
• $\sum a_{n}^2$ 收敛，$\sum a_{n}^3$ 一定收敛
• $\sum a_{n}$ 收敛，$\lim_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 不一定成立
  反例： $$\sum a_{n}: \left\{ \begin{array}{ll} a_{n}=\frac{1}{n^{2}}, & n \neq k^{2}, k=1,2, \cdots \\ a_{k^{2}}=\frac{1}{k^{2}}, & n = k^{2}, k=1,2, \cdots \end{array} \right.$$
• 若 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，$\sum a_{n}$ 收敛，$\lim_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 一定成立
• $\sum a_{n}$ 收敛，$\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$，则 $\sum a_{n} b_{n}$ 不一定收敛（反例：$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+1$）
• $\sum a_{n}$ 收敛，$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=1$，则 $\sum a_{n} b_{n}$ 不一定收敛（反例：$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$）
• $\sum |a_{n}|$ 收敛，$\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$，则 $\sum |a_{n} b_{n}|$ 一定收敛
• $\sum a_{n}$ 绝对收敛，$\sum\left(b_{n}-b_{n-1}\right)$ 收敛，则 $\sum a_{n} b_{n}$ 绝对收敛
• $a_{n}>0$ 单调递减，$\sum(-1)^{n} a_{n}$ 发散，则 $\sum\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ 收敛
• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 发散。

常见数项级数的敛散性

（Todo）
p \text { 级数 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}(p>0), p \leqslant 1 \text { 时级数 发散. }

函数项级数

定义

设函数列 $\left\{u_{n}(x)\right\}(n=1,2, \cdots)$ 在实数集合（一般为区间）$\boldsymbol{X}$ 上有定义，则和式 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 称为函数项级数。若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)\left(x_{0} \in X\right)$ 收敛，则称 $x_{0}$ 是级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的收敛点，否则称 $x_{0}$ 是级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的发散点。函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的全体收敛点组成的集合 $I$ 称为它的收敛域

和函数

对于收敛域 $I$ 中的每一点 $x$，记 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的和为 $S(x)$，即

$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) \quad(x \in I)$$

则这个定义在 $I$ 的函数 $S(x)$ 称为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的和函数
又记

$$S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} u_{k}(x), r_{n}(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty} u_{k}(x)$$

分别称之为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的前 $n$ 项部分和函数（简称部分和）和余和
显然，和函数 $S(x)$ 的定义域就是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的收敛域 $I$，并且对 $\forall x \in I$ 有

$$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=S(x), \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S(x)-S_{n}(x)\right)=0$$

极限函数

设 $D$ 是函数列 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 的收敛域，且有

$$\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x)=u(x), x \in D$$

则称 $u(x)$ 是 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上的极限函数，记为

$$u_{n}(x) \stackrel{D}{\longrightarrow} u(x) \text { 或 } u_{n}(x) \rightarrow u(x)(x \in D)$$

此即为 “点态收敛”，$N$ 不但与 $\varepsilon$ 有关, 而且与 $x$ 有关。

幂级数

定义

设 $x_{0}$ 为一个定数，形如

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots$$

的函数项级数称为 $x-x_{0}$ 的幂级数，简称幂级数，其中常数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots$ 称为幂级数的系数

由于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 的性质可转换为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} y^{n}$ 的相应性质，基于此，我们只需讨论 $x_{0}=0$ 情形下的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$

幂级数的收敛域

系数模比值法

对幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$，若

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}=\rho(\text { 或 }+\infty)$$

则其收敛半径

$$R=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { 当 } \rho=+\infty \\ \frac{1}{\rho}, & \text { 当 } 0<\rho<+\infty \\ +\infty, & \text { 当 } \rho=0 \end{array}\right.$$

系数模根值法

对幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$，若

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\rho(\text { 或 }+\infty),$$

则其收敛半径

$$R=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { 当 } \rho=+\infty \\ \frac{1}{\rho}, & \text { 当 } 0<\rho<+\infty \\ +\infty, & \text { 当 } \rho=0 \end{array}\right.$$

注意：

• 任一幂级数都有一个以 $r$ 为半径的收敛区间。但一般函数项级数此结论未必成立。
• 幂级数的收敛域是指幂级数收敛点的全体，含收敛区间两端点处的收敛性，而两端点处无法通过上述方法判断，需要单独判断。

广义幂级数的收敛域

对于广义幂级数 $\sum a_{n}(g(x))^{n}$，换元后按照一般幂级数求出收敛域，再根据转换关系求出原幂级数的收敛域

幂级数的收敛性质

Abel 定理：对幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$，有以下结论：

• 若 $x=x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是其收敛点，那么当 $|x|<\left|x_{0}\right|$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 绝对收敛
• 若 $x=x_{1}$ 是其发散点，那么当 $|x|>\left|x_{1}\right|$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 发散

导数级数和积分级数

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的导数级数为

$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$$

积分级数为

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$$

幂级数的分析性质

连续性定理

若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径 $R>0$，则其和函数在 $(-R, R)$ 内连续

若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=R$（或 $-R$）收敛，则和函数在 $x=R$（或 $-R$）左（右）连续

逐项可导性

若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径 $R>0$，则其和函数在 $(-R, R)$ 内可导，即

$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$$

且其导数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$ 的收敛半径仍为 $R$

逐项可积性

若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径 $R>0$，则其和函数在 $(-R, R)$ 的任意闭子区间上可积，且对 $\forall x \in(-R, R)$，有

$$\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$$

且其积分级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$ 的收敛半径仍为 $R$

注意：

• 逐项积分收敛域可能扩大，若原级数收敛域有开区间，由积分得到的级数需要单独判断端点。
• 逐项求导收敛域可能缩小，若原级数收敛域有闭区间，由求导得到的级数需要单独判断端点。

幂级数求和

常用和式

• $$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots=\frac{1}{1+x}, \quad|x|<1$$
• $$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots=\frac{1}{1-x}, \quad|x|<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=x+x^{2}+\cdots=\frac{x}{1-x}, \quad|x|<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x), \quad -1\le x<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(x-1)^{2}},\quad |x|<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(x-1)^{2}},\quad |x|<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}=-\frac{x(x+1)}{(x-1)^{3}}, \quad |x|<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}=-\frac{(x-2) x}{(x-1)^{2}},\quad |x|<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)(n+1) x^{n}=-\frac{2 x\left(x^{2}-3 x+3\right)}{(x-1)^{3}} ,\quad |x|<1$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}=e^{x} ,\quad x\in \mathbb{R}$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{n !}=x\cdot e^{x} ,\quad x\in \mathbb{R}$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 x^{n}}{n !}=x(x+1)\cdot e^{x} ,\quad x\in \mathbb{R}$$
• $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 x^{n}}{n !}=x(x^2+3x+1)\cdot e^{x} ,\quad x\in \mathbb{R}$$

Taylor级数

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可展开为幂级数，将幂级数

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

称为 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的 Taylor 级数，特别地，当 $x_{0}=0$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$ 称为 $f(x)$ 的 Maclaurin 级数.

函数展开唯一性定理

若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可展开为幂级数，则其展开式必唯一，且此幂级数就是 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的 Taylor 级数，即为

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

• 函数 $f(x)$ 的Taylor级数不一定收敛
• 如果收敛，其和函数不一定是 $f(x)$

常用函数的 Taylor 级数展开

• $$\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$$
• $$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n}, \quad x \in(-1,1]$$
• $$\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}, \quad x \in[-1,1)$$
• $$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, x \in(-\infty,+\infty)$$
• $$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots \quad(-\infty<x<+\infty)$$
• $$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}, \quad x \in [-1,1]$$
• $$(1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}, \quad x \in(-1,1)$$

函数展开充分性定理

设 $f(x)$ 在 $U\left(x_{0}, r\right)$ 内任意次可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可展开成 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 的充要条件是对 $\forall x \in U\left(x_{0}, r\right)$，Taylor公式的余项 $R_{n}(x) \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$

此时称 $f(x)$ 在 $U\left(x_{0}, r\right)$ 处可展开成幂级数或Taylor级数，称 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 是 $f(x)$ 在 $U\left(x_{0}, r\right)$ 上的幂级数展开 或Taylor展开

若取Lagrange余项，

$$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}\left(x_{0}+\theta\left(x-x_{0}\right)\right)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}, \quad 0<\theta<1,$$

设 $f(x)$ 在 $U\left(x_{0}, r\right)$ 内任意次可导，且 $\exists M>0, \forall n \in \mathbb{N}$，在 $x_{0}$ 的某邻域内，$\left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M$，则 $f(x)$ 可展开为 $x_{0}$ 处的幂级数。