第一章 群

二元关系

设 $S$ 是一个非空集合，$\mathcal{R}$ 是关于 $S$ 的元素的一个条件。如果对 $S$ 中任意一个有序元素对 $(a,b)$，我们总能确定 $a$ 与 $b$ 是否满足条件 $\mathcal{R}$，就称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个关系。如果 $a$ 与 $b$ 满足条件 $\mathcal{R}$，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $\mathcal{R}$，记作 $a\mathcal{R}b$；否则称 $a$ 与 $b$ 无关系 $\mathcal{R}$。关系 $\mathcal{R}$ 也称为二元关系

• 注意 $\mathcal{R}$ 的确定性，“总能”表示忽略验证所需的时间和复杂度

等价关系

设 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $S$ 的一个关系，如果 $\mathcal{R}$ 满足

• 反身性，即对任意的 $a \in S$，有 $a \mathcal{R} a$
• 对称性，即若 $a \mathcal{R} b$，则 $b \mathcal{R} a$
• 传递性，即若 $a \mathcal{R} b$，且 $b \mathcal{R} c$，则 $a \mathcal{R} c$

则称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个等价关系，并且如果 $a \mathcal{R} b$，则称 $a$ 等价于 $b$，记作 $a \sim b= \{[a], a\in S\}$

• 注意可能存在孤立元素，即存在 $a$，对于任意 $b$，$a \not\sim b$。
• 不能根据传递性和对称性推出自反性。（反例：$a$ 可以是孤立元素且没有自反性）

等价类

如果是集合 $S$ 的一个等价关系，对 $a \in S$，令

$$[a]=\{x \in S \mid x \sim a\}$$

称子集 $[a]$ 为 $S$ 的一个等价类。$S$ 的全体等价类的集合称为集合 $S$ 在等价关系下的商集，记 $S / \sim$

同余关系与剩余类

设 $m$ 是正整数，在整数集 $\mathbf{Z}$ 中，规定

$$a \mathcal{R} b \Longleftrightarrow m \mid a-b,\quad \forall a,b \in \mathbf{Z}$$

则

• 对任意整数 $a$，有 $m \mid a-a$
• 若 $m \mid a-b$，则 $m \mid b-a$
• 若 $m|a-b$，$m|b-c$，则 $m \mid a-c$
  所以 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个等价关系。显然 $a$ 与 $b$ 等价当且仅当 $a$ 与 $b$ 被 $m$ 除有相同的余数，因此称这个关系为同余关系，并记作 $a \equiv b(\bmod m)$

设 $a \in \mathbb{Z}$，则

$$\begin{aligned} {[a] } & =\{x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \quad(\bmod m)\} \\ & =\{x \in \mathbb{Z}|m| x-a\} \\ & =\{a+m z \mid z \in \mathbb{Z}\}, \end{aligned}$$

$[a]$ 称为整数集 $\mathbb{Z}$ 的一个（与 $a$ 同余的）模 m 剩余类，在数论中，$[a]$ 常记作 $\bar{a}$，而相应的商集称为 $\mathbb{Z}$ 的模 m 剩余类集，记作 $\mathbb{Z}_{m}$
由

$$\bar{a}=\bar{b} \Longleftrightarrow m \mid a-b,$$

易得

$$\begin{array}{l} \overline{0}=\{\cdots,-2 m,-m,0,m,2 m,\cdots\},\\ \overline{1}=\{\cdots,-2 m+1,-m+1,1,m+1,2 m+1,\cdots\},\\ \cdots \cdots \\ \overline{m-1}=\{\cdots,-2 m-1,-m-1,-1,m-1,2 m-1,\cdots\} \end{array}$$

是模 $m$ 的全体不同的剩余类，所以

$$\mathbb{Z}_{m}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\}$$

分类

如果非空集合 $S$ 是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合 $S$ 的一种分类，其中每个子集称为 $S$ 一个类。如果 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类，则记作 $\mathcal{P}=\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 由此定义可知，集合 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类当且仅当

• $S=\bigcup_{i \in I} S_{i}$

• $S_{i} \cap S_{j}=\varnothing$，$i \neq j$

• 第一个条件说明 $\left\{S_{i}\right\}$ 这些子集无遗漏地包含了 $S$ 的全部元素

• 第二个条件说明两个不同的子集无公共元素，从而 $S$ 的元素属于且仅属于一个子集
• 这表明，$S$ 的一个分类必须满足不漏不重的原则

分类与等价关系的关系

• 集合 $S$ 的任何一个等价关系都确定了 $S$ 的一种分类，且其中每一个类都是集合 $S$ 的一个等价类。
• 反之，集合 $S$ 的任何一种分类也都给出了集合 $S$ 的一个等价关系，且相应的等价类就是原分类中的那些类。
• 也就是说，一个集合的分类可以通过等价关系来描述；另一方面，等价关系也可以用集合的分类来表示

等价关系数目

如果用 $B(n)$ 表示一个具有 $n$ 个元素的集合上的不同等价关系的个数，则有下列的递推公式：

$$B(n+1)=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} B(k),\quad n \geqslant 1$$

其中 $\mathrm{C}_{n}^{k}$ 为二项式系数，并规定 $B(0)=1,B(1)=1$

代数运算

设 $A$ 是一个非空集合，若对 $A$ 中任意两个元素 $a,b$，通过某个法则“$\cdot$”，有 $A$ 中唯一确定的元素 $c$ 与之对应，则称法则“$\cdot$”为集合 $A$ 上的一个代数运算。元素 $c$ 是 $a,b$ 通过运算“$\cdot$” 作用的结果，将此结果记为 $a \cdot b=c$

换句话说代数运算满足封闭性和唯一性：

• $\forall a,b \in A$，$a\cdot b\in A$
• 若 $a_1\cdot b_1=c_1$，$a_2\cdot b_2=c_2$，$a_1=a_2$，$b_1=b_2$，则必有 $c_1=c_2$

群

设 $G$ 是一个非空集合，“$\cdot$”是 $G$ 上的一个代数运算，即 (G0) 对所有的 $a,b \in G$，有 $a \cdot b \in G$。如果 $G$ 的运算还满足

• (G1) 结合律，即对所有的 $a,b,c \in G$，有 $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$
• (G2) $G$ 中有元素 $e$，使对每个 $a \in G$，有 $e \cdot a=a \cdot e=a$
• (G3) 对 $G$ 中每个元素 $a$，存在元素 $b \in G$，使 $a \cdot b=b \cdot a=e$

则称 $G$ 关于运算“$\cdot$”构成一个群，记作 $(G,\cdot)$。在不致引起混淆的情况下，也称 $G$ 为群。

• (G2) 中的元素 $e$ 称为群 $G$ 的单位元或恒等元；
• (G3) 中的元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元
• 群 $G$ 的单位元 $e$ 和每个元素的逆元都是唯一的
• $G$ 中元素 $a$ 的唯一的逆元通常记作 $a^{-1}$
• 如果群 $G$ 的运算还满足交换律，即对任意的 $a$，$b \in G$，有 $a \cdot b=b \cdot a$，则称 $G$ 是一个交换群或阿贝尔群

• 群 $G$ 中元素的个数称为群 $G$ 的阶，记为 $|G|$。如果 $|G|$ 是有限数，则称 $G$ 为有限群，否则称 $G$ 为无限群

• 当群 $G$ 的运算用加号“+”表示时，通常将 $G$ 的单位元记作 $0$，并称 $0$ 为 $G$ 的零元；将 $a \in G$ 的逆元记作 $-a$，并称 $-a$ 为 $a$ 的负元

• 习惯上，只有当群为交换群时，才用“+”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群
• 相应地，将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积。在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写
• 今后，如不作特别声明，总假定群的运算是乘法

乘法表

形如下表的表通常称为群的乘法表，也称群表或凯莱表。人们常用群表来表示有限群的运算

$$\begin{array}{c|cccc} \hline \circ & e & \cdots & b & \cdots \\ \hline e & e & \cdots & b & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots \\ a & a & \cdots & a \circ b & \cdots \\ \hline \end{array}$$

在一个群表中，

• 表的左上角列出了群的运算符号（有时省略）
• 表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面）
• 表的最左列按同样的次序列出群的所有元素
• 表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘积
  • 注意，在乘积 $a \circ b$ 中，左边的因子 $a$ 是左列上的元素，右边的因子 $b$ 是最上面一行的元素
• 由群表很容易确定一个元素的逆元素
• 如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群

群的性质

设 $G$ 为群，则有

• 群 $G$ 的单位元是唯一的
• 群 $G$ 的每个元素的逆元是唯一的
• 对任意的 $a \in G$，有 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$
• 对任意的 $a,b \in G$，有 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$
• 在群中消去律成立，即设 $a,b,c \in G$，如果 $a b=a c$，或 $b a=c a$，则 $b=c$

设 $G$ 是群，那么对任意的 $a,b \in G$，方程

$$a x=b \quad \text{及} \quad y a=b$$

在 $G$ 中都有唯一解

方幂

群的定义中的结合律表明，群中三个元素 $a,b,c$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成：$a b c$。进一步可知，在群 $G$ 中，任意 $k$ 个元素 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 $a_{1} a_{2} \cdots a_{k}$。据此，可以定义群的元素的方幂：

乘群

对任意的正整数 $n$，定义

$$a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{个} a}$$

再约定

$$\begin{aligned} a^{0} & =e,\\ a^{-n} & =\left(a^{-1}\right)^{n} \quad(n \text{为正整数}), \end{aligned}$$

则 $a^{n}$ 对任意整数 $n$ 都有意义，并且不难证明，对任意的 $a \in G$，$m,n \in \mathbf{Z}$，有下列的指数法则：

• $a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$
• $\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n m}$
• 如果 $G$ 是交换群，则 $(a b)^{n}=a^{n} b^{n}$

加群

当 $G$ 是加群时，元素的方幂则应改写为倍数

$$\begin{array}{c} n a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text{个} a}\\ 0 a=0,\\ (-n) a=n(-a) \end{array}$$

相应地，指数法则变为倍数法则，

• $n a+m a=(n+m) a$
• $m(n a)=(m n) a$
• $n(a+b)=n a+n b$

因为加群是交换群，所以第三条总是成立的

群的判定

设 $G$ 是一个具有代数运算的非空集合，则 $G$ 关于所给的运算构成群的充分必要条件是

• $G$ 的运算满足结合律
• $G$ 中有一个元素 $e$（称为 $G$ 的左单位元），使对任意的 $a \in G$，有 $e a=a$
• 对 $G$ 的每一个元素 $a$，存在 $a^{\prime} \in G$（称为 $a$ 的左逆元），使 $a^{\prime} a=e$。这里 $e$ 是 $G$ 的左单位元

换句话说明，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，只要满足结合律，有左单位元，每个元素有左逆元，就构成一个群。

同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，如果满足结合律，有右单位元，且 $G$ 中每个元素有右逆元，则 $G$ 也构成群

设 $G$ 是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则 $G$ 构成群的充分必要条件是对任意的 $a,b \in G$，方程

$$a x=b \quad \text{与}\quad y a=b$$

在 $G$ 中都有解

设 $G$ 是一个具有乘法运算的非空有限集合，如果 $G$ 满足结合律，且两个消去律成立，则 $G$ 构成群

• 要注意的是，如果没有有限的条件，一个具有代数运算的集合，仅仅满足结合律和两个消去律，并不一定构成群

常用例子

• $\mathbf{Z}_{m}={\bar{a} \mid a=0,1,2,\cdots,m-1}$ 是整数集 $\mathbf{Z}$ 的一种分类
• 整数集 $\mathbf{Z}$ 关于数的加法构成群，这个群称为整数加群
• 全体非零有理数的集合 $\mathbf{Q}^{*}$，关于数的乘法构成交换群
• 全体非零实数的集合 $\mathbf{R}^{*}$
• 全体非零复数的集合 $\mathbf{C}^{*}$ 关于数的乘法也构成交换群
• 全体 $n$ 次单位根组成的集合 $$\begin{aligned} U_{n} & =\left\{x \in \mathbf{C} \mid x^{n}=1\right\} \\ & =\left\{\left.\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n} \right\rvert\,k=0,1,2,\cdots,n-1\right\} \end{aligned}$$ 关于数的乘法构成一个 $n$ 阶交换群，通常称这个群为 n 次单位根群
• 设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数，则 $\mathbf{Z}_{m}$ 关于剩余类的加法构成加群，这个群称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 剩余类加群
• 设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数，记 $$U(m)=\left\{\bar{a} \in \mathbf{Z}_{m} \mid(a,m)=1\right\},$$ 则 $U(m)$ 关于剩余类的乘法构成群，群 $(U(m),\cdot)$ 称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 单位群，显然这是一个交换群，不一定是循环群。当 $p$ 为素数时，$U(p)$ 常记作 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$，易知 $$\mathbf{Z}_{p}^{*}=\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\}$$ 这是一个循环群，$U(m)$ 的阶等于欧拉函数 $\phi(m)$

子群

定义

设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个非空子集。如果 $H$ 关于 $G$ 的运算也构成群，则称 $H$ 为 $G$ 的一个子群，记作 $H<G$

• 对任意群 $G$，$G$ 本身以及只含单位元 $e$ 的子集 $H=\{e\}$ 是 $G$ 的子群，这两个子群称为 $G$ 的平凡子群。群 $G$ 的其他子群称为 $G$ 的非平凡子群
• 群 $G$ 的不等于它自身的子群称为 $G$ 的真子群

设 $m$ 是一个整数，令

$$H=\{m z \mid z \in \mathbf{Z}\},$$

则 $H$ 为整数加群 $\mathbf{Z}$ 的子群。这个群称为由 $m$ 所生成的子群，常记作 $m \mathbf{Z}$ 或 $\langle m\rangle$

判定

由于群 $G$ 的运算满足结合律，所以结合律在 $G$ 的任何关于 $G$ 的运算封闭的非空子集 $H$ 上都成立。于是，由群的定义知，如果群 $G$ 的非空子集 $H$ 满足下列条件，则 $H$ 是群 $G$ 的子群：

• $H$ 在群的运算下封闭
• $H$ 有单位元
• $H$ 包含它的每个元素的逆元

设 $G$ 为群，$H$ 是群 $G$ 的非空子集，则 $H$ 成为群 $G$ 的子群的充分必要条件是

• 对任意 $a,b \in H$，有 $a b \in H$
• 对任意 $a \in H$，有 $a^{-1} \in H$

设 $G$ 为群，$H$ 是群 $G$ 的非空子集，则 $H$ 成为 $G$ 的子群的充分必要条件是

• 对任意的 $a$，$b \in H$，有 $a b^{-1} \in H$

性质

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群，则

• 群 $G$ 的单位元 $e$ 是 $H$ 的单位元；
• 对任意的 $a \in H$，$a$ 在 $G$ 中的逆元 $a^{-1}$ 就是 $a$ 在 $H$ 中的逆元

设 $G$ 为群，记

$$C(G)=\{g \in G \mid g x=x g,\forall x \in G\}$$

则 $C(G)$ 是 $G$ 的子群。称 $C(G)$ 为 $G$ 的中心

群 $G$ 的任意两个子群的交集还是 $G$ 的子群
群 $G$ 的任意两个子群的并集不一定是 $G$ 的子群

生成子群

定义

设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集，令 $M$ 表示 $G$ 中所有包含 $S$ 的子群所组成的集合，即

$$M=\{H<G \mid S \subseteq H\}$$

$G$ 本身显然包含 $S$，所以 $G \in M$，从而 $M$ 非空。令

$$K=\bigcap_{H \in M} H$$

则 $K$ 是 $G$ 的子群，称 $K$ 为群 $G$ 的由子集 $S$ 所生成的子群，简称生成子群，记作 $\langle S\rangle$，即

$$\langle S\rangle=\bigcap_{S \subseteq H<G} H$$

子集 $S$ 称为 $\langle S\rangle$ 的生成元组

如果 $S=\left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\right\}$ 为有限集，则记

$$\langle S\rangle=\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\right\rangle$$

性质

设 $S$ 是群 $G$ 的非空子集，则

• $\langle S\rangle$ 是 $G$ 的包含 $S$ 的最小子群
• $\langle S\rangle=\left\{a_{1}^{l_{1}} a_{2}^{l_{2}} \cdots a_{k}^{l_{k}} \mid a_{i} \in S, l_{i}= \pm 1, k \in \mathbf{N}\right\}$

特别注意：上式中的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 可以取重复的值。若我们用不重复的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 来表示，那么这个乘法式子可能是无限长（因为不一定有交换律），不太好表示了。

特例

• 当 $S$ 只包含群 $G$ 的一个元素 $a$ 时，由于 $$a^{l_{1}} a^{l_{2}} \cdots a^{l_{k}}=a^{\sum_{i=1}^{k} l_{i}}$$ 所以 $$\langle a\rangle=\left\{a^{r} \mid r \in \mathbf{Z}\right\}$$ 这种由一个元素 $a$ 生成的子群称为由 $a$ 生成的循环群
• 当 $S$ 只包含群 $G$ 的一个元素 $a,b$，且 $a b=b a$，则 $$\langle a,b\rangle=\left\{a^{m} b^{n} \mid m,n \in \mathbf{Z}\right\}$$

群的同构

定义

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一一对应，使

$$\phi(a \cdot b)=\phi(a) \cdot \phi(b),\quad \forall a,b \in G,$$

则称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个同构映射，简称同构，并称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构，记作

$$\phi: \, G \cong G^{\prime}$$

• 群 $G$ 到它自身的同构映射称为群 $G$ 的自同构，恒等同构是自同构
• 同构映射一定是可逆变换
• 同构的群之间可以有不止一个同构映射
• 在群同构的定义中，虽然使用了同一个符号“ $\cdot$ ”表示群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的运算，但事实上，$a \cdot b$ 与 $\phi(a) \cdot \phi(b)$ 分别是在群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 中进行的运算，一般来说它们是不相同的

证明两个群同构的步骤

1. 构造群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
2. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单映射。即对任意的 $x,y \in G$，证明由 $\phi(x)=\phi(y)$ 可推出 $x=y$
3. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满映射。即对任意的 $x^{\prime} \in G^{\prime}$，证明存在 $x \in G$，使 $\phi(x)=x^{\prime}$
4. 证明 $\phi$ 保持运算。即对任意的 $x,y \in G$，证明 $\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)$

性质

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射，$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元，$a$ 是 $G$ 的任一元素，则

• $\phi(e)=e^{\prime}$
• $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
• $\phi$ 是可逆映射，且 $\phi$ 的逆映射 $\phi^{-1}$ 是群 $G^{\prime}$ 到群 $G$ 的同构映射

设群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构

• 如果 $G$ 是交换群（Abel 群），则 $G^{\prime}$ 也是交换群
• 如果 $G$ 是有限群，则 $G^{\prime}$ 也是有限群，且 $|G|=\left|G^{\prime}\right|$

群的同构是一个等价关系，即

• 反身性：$G \cong G$
• 对称性：若 $G \cong G^{\prime}$，则 $G^{\prime} \cong G$

• 传递性：若 $G \cong G^{\prime}$，$G^{\prime} \cong G^{\prime \prime}$，则 $G \cong G^{\prime \prime}$

• 其中 $G,G^{\prime},G^{\prime \prime}$ 都是群

• 注意：同构关系是等价关系，映射不是等价关系！

变换群

背景

群同构的定义表明：在同构映射之下，对应的元素在各自的运算之下有相同的关系。从而，同构的群具有完全相同的群性质。因此，当研究一个群时，可以撇开群的元素的个性以及运算的具体含义不管，而且由一个群所得到的一切性质，对任意一个与之同构的群都适用。反之，为了研究一个抽象的群，可以转而去研究一个具体的与之同构的群。如果这个具体的群的性质搞清楚了，那么就可以借助于群同构，把这个群的性质转化为原来那个抽象的群的性质了。在所有的群中，最早研究的一类群是和集合的可逆变换联系在一起的。这类群通常称为变换群。而一般群的概念正是从变换群的概念抽象出来的。容易证明，集合上的所有可逆变换对于变换的复合运算构成群。

定义

非空集合 $X$ 的全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 $S_x$ 称为集合 $X$ 的对称群，$S_x$ 的任一子群称为 $X$ 的一个变换群

凯莱定理

每一个群都同构于一个变换群。

（Todo：凯莱定理的证明）

阶

定义

设 $G$ 是一个群，$e$ 是 $G$ 的单位元，$a \in G$。如果存在正整数 $r$，使 $a^{r}=e$，则称 $a$ 是有限阶的，否则称 $a$ 是无限阶的。使 $a^{r}=e$ 的最小正整数 $r$ 称为元素 $a$ 的阶，记作 $\operatorname{ord} a=r$。如果 $a$ 是无限阶的，则记作 $\operatorname{ord} a=\infty$

• 在任何一个群中，单位元的阶总是 $1$
• 在整数加群 $\mathbf{Z}$ 中，除零元 $0$ 外，每个元素都是无限阶的

性质

设 $G$ 为群，$e$ 为 $G$ 的单位元

• 对任意的 $a \in G$，有 $\operatorname{ord} a=\operatorname{ord} a^{-1}$
• 设 $\operatorname{ord} a=n$，如果有 $m \in \mathbf{Z}$，使 $a^{m}=e$，则 $n \mid m$
• 设 $\operatorname{ord} a=n$，则对任意的 $m \in \mathbf{Z}$，$\operatorname{ord} a^{m}=\frac{n}{(n,m)}$
• 设 $\operatorname{ord} a=n$，$\operatorname{ord} b=m$，如果 $a b=b a$，且 $\operatorname{gcd}(n,m)=1$，则 $\operatorname{ord}(a b)=m n$

设 $G$ 是一个有限群，$|G|=n$，则对任意的 $a \in G$，$a$ 是有限阶的，且 $\operatorname{ord} a\mid \left| G \right|$，即有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子。

循环群

定义

设 $G$ 是群，如果存在 $a \in G$，使得 $G=\langle a\rangle$（a 的生成子群），则称 $G$ 为一个循环群，并称 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。当 $G$ 的元素个数无限时，称 $G$ 为无限循环群；当 $G$ 的元素个数为 $n$ 时，称 $G$ 为 n 阶循环群

• 整数加群 $\mathbf{Z}$ 是无限循环群
• 设 $m$ 为正整数，则模 $m$ 剩余类加群 $\mathbf{Z}_{m}$ 是 $m$ 阶循环群
• $n$ 次单位根群 $U_{n}$ 是一个 $n$ 阶循环群

性质

设 $p$ 为素数，则 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 是 $p-1$ 阶循环群。对于循环群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$，如果 $\bar{a}$ 是 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 的生成元，则称数 $a$ 是 $\mathbf{Z}$ 的一个模 p 原根

设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，则

• 如果 $|G|=\infty$，则 $a$ 与 $a^{-1}$ 是 $G$ 的两个仅有的生成元
• 如果 $|G|=n$，则 $G$ 恰有 $\phi(n)$ 个生成元，且 $a^{r}$ 是 $G$ 的生成元的充分必要条件是 $(n,r)=1$，其中，$\phi(n)$ 是欧拉函数

原根判定定理：
设 $m \geqslant 3$，$(g,m)=1$，则 $g$ 是模 $m$ 的原根的充要条件是，对于 $\varphi(m)$ 的每个素因数 $p$，都有 $g^{\frac{q(m)}{p}} \not \equiv 1(\bmod m)$

循环群的任一子群也是循环群

• 设 $\operatorname{ord} a=n$，$r$ 是任一整数。如果 $(n,r)=d$，则 $$\left\langle a^{r}\right\rangle=\left\langle a^{d}\right\rangle$$
• 设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，
  • 如果 $|G|=\infty$，则 $G$ 的全部子群为 $$\left\{\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d=0,1,2,\cdots\right\}$$
  • 如果 $|G|=n$，则 $G$ 的全部子群为 $$\left\{\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d \mathrm{为} n \mathrm{的正因子}\right\}$$

循环群的结构定理

设 $G$ 为循环群

• 如果 $G=\langle a\rangle$ 是无限循环群，则 $G \cong(\mathbf{Z},+)$
• 如果 $G=\langle a\rangle$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G \cong\left(\mathbf{Z}_{n},+\right)$

置换群与对称群

前面提到非空集合的全体可逆变换关于映射的合成构成集合 $X$ 的对称群 $S_X$，并且把 $S_X$ 的任一子群叫做 $X$ 的一个变换群。如果 $X$ 是由 $n$ 个元素组成的有限集合，则通常把的一个可逆变换叫做一个 $n$ 阶置换，称 $S_X$ 为 n 次对称群，并把 $S_X$ 记作 $S_n$（因为集合 $X$ 有哪些元素与群的特性无关），同时称 $S_n$ 的子群为置换群。

• 定理：每一个有限群都同构于一个置换群

置换

由于集合 $X$ 的元素本身与我们所讨论的问题无关，所以可不妨记

$$X=\{1,2,3,\cdots,n\}$$

设 $\sigma$ 为 $X$ 的任一置换，如果 $\sigma$ 把 $1$ 映成 $k_{1}$，$2$ 映成 $k_{2}$，……，$n$ 映成 $k_{n}$，则可以把这个置换记作

$$\sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & k_{3} & \cdots & k_{n} \end{array}\right)$$

如果固定第一行元素的次序，则第二行就是 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列，且每一个置换都唯一对应了一个这样的排列。反之，每一个 $n$ 阶排列也可按上式得到唯一的一个 $n$ 阶置换 。由于 $n$ 个数共有 $n!$ 个 $n$ 阶排列，所以 $n$ 个元素的集合共有 $n!$ 个 $n$ 阶置换。换句话说，$n$ 次对称群 $S_{n}$ 的阶是 $n!$

置换的合成

置换的乘法习惯上总是按从右到左的顺序进行的。在本教材中，总是按从右到左的顺序计算置换的乘法。

两个置换 $\sigma,\tau$ 的乘积 $\sigma \cdot \tau$ 是按通常映射合成的法则进行的，即

$$(\sigma \cdot \tau)(i)=\sigma(\tau(i)),\quad i=1,2,\cdots,n,$$

它是先用 $\tau$ 作用于 $i$，再用 $\sigma$ 作用于 $\tau(i)$

• 当 $n \geqslant 3$ 时，$S_{n}$ 都不是交换群

置换的性质

设置换

$$\tau=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n} \end{array}\right),$$

则对任一 $n$ 阶置换 $\sigma$，

$$\sigma \tau \sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \sigma\left(k_{1}\right) & \sigma\left(k_{2}\right) & \cdots & \sigma\left(k_{n}\right) \end{array}\right)$$

轮换

设 $\sigma$ 是一个 $n$ 阶置换，如果存在 $1$ 到 $n$ 中的 $r$ 个不同的数 $i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}$，使

$$\sigma\left(i_{1}\right)=i_{2},\sigma\left(i_{2}\right)=i_{3},\cdots,\sigma\left(i_{r-1}\right)=i_{r},\sigma\left(i_{r}\right)=i_{1},$$

并且 $\sigma$ 保持其余的元素不变，则称 $\sigma$ 是一个长度为 $r$ 的轮换，简称 $r$ 轮换，记作

$$\sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right)$$

• 2 轮换称为对换
• 1 轮换就是恒等置换，并且显然有 $$(1)=(2)=\cdots=(n)$$
• 轮换的表示一般不是唯一的 $.$ 例如，置换 $$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 6 & 5 & 1 & 7 \end{array}\right)$$ 可分别表示为 $$\begin{aligned} \sigma & =\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 2 & 4 & 6 & 1 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 4 & 6 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 6 & 1 & 2 & 4 \end{array}\right) \\ \end{aligned}$$

轮换的性质

设 $\sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right)$ 与 $\tau=\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{s}\right)$ 是两个轮换，如果

$$i_{k} \neq j_{l},\quad k=1,2,\cdots,r;\,l=1,2,\cdots,s$$

则称 $\sigma$ 与 $\tau$ 为两个不相交的轮换

• 任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的
• 一个置换不一定就是轮换，但是每一个置换可表为一些不相交轮换的乘积
• 将一个置换分解为不相交轮换的乘积，如果不考虑因子的次序和乘积中 $1$ 轮换的个数，则这个分解式是唯一的

对于轮换的乘积，容易证明下面两个有用的等式：

$$\begin{array}{l} (k\ l)(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d) \\ (k\ l)(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d) \end{array}$$ $$(k\ c \cdots d)(k\ a \cdots b)=(k\ a \cdots b\ c \cdots d)$$ $$\begin{array}{l} (x\ y\ c \cdots d)(x\ y\ a \cdots b)=(x\ c \cdots d)(y\ a \cdots b) \\ (y\ x\ c \cdots d)(x\ y\ a \cdots b)=(x)(y\ a \cdots b\ c \cdots d) \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{l} (x\ y\ z\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x\ z\ a \cdots b\ y\ c \cdots d)\\ (x\ z\ y\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x\ c \cdots d)(y)(z\ a \cdots b)\\ (y\ x\ z\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x)(y\ c \cdots d)(z\ a \cdots b)\\ (y\ z\ x\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(y\ x\ z\ a \cdots b\ c \cdots d)\\ (z\ x\ y\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x\ c \cdots d\ z\ a \cdots b\ y)\\ (z\ y\ x\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x)(y)(z\ a \cdots b\ c \cdots d)\\ \end{array}$$

• 其中 $a,\cdots,b,c,\cdots,d,k,l,x,y,z$ 为互不相同的正整数
• 注意置换是从右到左

如果 $\sigma$ 是一个 $r$ 轮换，则 $\operatorname{ord} \sigma=r$
如果 $\sigma$ 是一些不相交轮换的乘积

$$\sigma=\sigma_{1} \sigma_{2} \cdots \sigma_{s}$$

其中 $\sigma_{i}$ 是 $r_{i}$ 轮换，则 $\operatorname{ord} \sigma=\left[r_{1},r_{2},\cdots,r_{s}\right]$

• 每个置换都可表为对换的乘积
• 将一个置换表为对换的乘积，表法一般不唯一
• 将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的

可表成偶数个对换的乘积的置换叫偶置换，可表成奇数个对换的乘积的置换叫奇置换

• 任何两个偶（奇）置换之积是偶置换
• 一个偶置换与一个奇置换之积是奇置换

• 一个偶（奇）置换的逆置换仍是一个偶（奇）置换

• 当 $n>1$ 时，在全体 $n$ 阶置换中，奇置换与偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个

• 在 $S_{n}$ 中，全体偶置换构成 $S_{n}$ 的子群
• 由 $S_{n}$ 的全体偶置换所构成的子群称为 n 次交代群，记作 $A_{n}$

子集的运算

乘积

设 $A$ 与 $B$ 是群 $G$ 的两个非空子集，称集合

$$A B=\{a b \mid a \in A,b \in B\}$$

为群的子集 $A$ 与 $B$ 的乘积
如果 $g$ 为群 $G$ 的一个元素，$A={g}$，则 $A B$ 与 $B A$ 分别简记为

$$g B=\{g b \mid b \in B\} \quad \mathrm{和} \quad B g=\{b g \mid b \in B\}$$

• 当 $G$ 为加群时，上述记号应相应地改为 $$\begin{aligned} A+B & =\{a+b \mid a \in A,b \in B\},\\ g+A & =\{g+a \mid a \in A\},\\ A+g & =\{a+g \mid a \in A\}, \end{aligned}$$ 并称 $A+B$ 为 $A$ 与 $B$ 的和

简单性质

• “和”有交换律 $$A+B=B+A,\quad g+A=A+g$$
• 当群 $G$ 不是交换群时，$A B$ 与 $B A$ 一般是不相同的
• 即使 $A B=B A$，也并不意味着对任意的 $a \in A$，$b \in B$，一定有 $a b=b a$
• $A B=B A$ 的意思是，对任意的 $a \in A, b \in B$，存在 $a^{\prime} \in A, b^{\prime} \in B$，使 $a b=b^{\prime} a^{\prime}$
• 由 $A B=A C$，一般不能推出 $B=C$

子集运算的性质定理

设 $A,B,C$ 是群 $G$ 的非空子集，$g$ 是群 $G$ 的一个元素，则

• $A(B C)=(A B) C$
• 如果 $g A=g B$ 或 $A g=B g$，则 $A=B$
• 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，则 $H \cdot H=H$
• 如果 $A, B$ 是群 $G$ 的两个子群，则 $A B$ 也是群 $G$ 的子群的充分必要条件是 $A B=B A$

陪集

定义

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群。对任意的 $a \in G$，群 $G$ 的子集

$$a H=\{a h \mid h \in H\} \quad \mathrm{与} H a=\{h a \mid h \in H\}$$

分别称为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集和右陪集

• $H$ 的一个陪集一般不是 $G$ 的子群
• $G$ 的两个不同的元素可能生成 $H$ 的同一个左陪集
• $H$ 的一个左陪集 $aH$ 一般不等于相应的右陪集 $Ha$

性质

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，$a,b \in G$，则

• $a \in a H$
• $a H=H$ 的充分必要条件是 $a \in H$
• $a H$ 为子群的充分必要条件是 $a \in H$
• $a H=b H$ 的充分必要条件是 $a^{-1} b \in H$
• $a H$ 与 $b H$ 或者完全相同，或者无公共元素
• $|a H|=|b H|$

由此定理可以知道，群 $G$ 可表示成子群 $H$ 的一些互不相交的左陪集之并。因此，群 $G$ 的子群 $H$ 的全体左陪集的集合组成群 $G$ 的一个分类，即

$$G=\bigcup_{g_{i} \in G} g_{i} H$$

其中 $g_{i}$ 取遍 $H$ 的不同陪集的代表元素。特别地，如果 $G$ 为有限群，则

$$|G|=\sum_{i=1}^{t}\left|g_{i} H\right|=\sum_{i=1}^{t}|H|=t|H|$$

其中 $t$ 为 $H$ 的不同左陪集的个数

左陪集与有右陪集

相应的结论对右陪集也成立：

$$H a=H b \Longleftrightarrow b a^{-1} \in H$$

用 $G / H$ 与 $H \backslash G$ 分别表示 $H$ 的全体左陪集和全体右陪集组成的集合，即

$$\begin{array}{l} G / H=\{g H \mid g \in G\} \\ H \backslash G=\{H g \mid g \in G\} \end{array}$$

则两者间有下述关系

设 $H$ 为 $G$ 的子群，则

$$\begin{aligned} \phi: \quad G / H & \longrightarrow H \backslash G,\\ a H & \longmapsto H a^{-1} \end{aligned}$$

是 $G / H$ 到 $H \backslash G$ 的一一对应

指数

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群。称子群 $H$ 在群 $G$ 中的左陪集或右陪集的个数（有限或无限）为 $H$ 在 $G$ 中的指数，记作 $[G:H]$

拉格朗日定理：设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的子群，则

$$|G|=|H|[G:H]$$

拉格朗日定理说明，有限群 $G$ 的子群 $H$ 的阶数与它在 $G$ 中的指数，都是群 $G$ 的阶数的因子
由拉格朗日定理，可以得到下面的推论

• 设 $G$ 是有限群，则 $G$ 中每一个元素的阶都是 $|G|$ 的因子

• 设 $G$ 为有限群，$|G|=n$，则对任意的 $a \in G$，有 $a^{n}=e$

• 应用到模 $p$ 单位群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$（$p$ 是素数），可以得到初等数论中著名的定理：

费马小定理：设 $p$ 为素数，则对任意一个与 $p$ 互素的整数 $a$，有

$$a^{p-1} \equiv 1 \quad(\bmod p)$$

应用拉格朗日定理，可以推测在一个有限群中，可能有怎样阶数的子群与元素，只是一种可能性，不能仅仅依据这种可能性，就断定这样的子群或元素一定存在

各阶群的结构

• 一阶群是循环群：$G={e}$
• 二阶群是循环群：$G={e, a} = \langle a\rangle$
• 三阶群是循环群：$G={e, a, a^2} = \langle a\rangle$
• 四阶群是循环群或克莱因四元群：
  • $G={e, a, a^2, a^3} = \langle a\rangle$
  • $G={e,a,b,ab}$，$ab=ba$，$a^2=b^2=e$
• 五阶群是循环群：$G={e, a, a^2, a^3, a^4} = \langle a\rangle$
• 六阶群是循环群或三次对称群
  • $G={e, a, a^2, a^3, a^4, a^5} = \langle a\rangle$
  • $G \cong S_3$

正规子群

定义

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，如果对每个 $a \in G$，都有 $a H=H a$，则称 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群或不变子群，记作 $H \triangleleft G$

• 条件 $a H=H a$ 仅仅表示两个集合 $a H$ 与 $H a$ 相等，不可推出 $a h=h a$ 对 $H$ 中所有的元素 $h$ 都成立
• 对任意的 $h \in H$，存在 $h^{\prime} \in H$，使 $a h=h^{\prime} a$
• 群 $G$ 的单位元群 ${e}$ 和群 $G$ 本身都是 $G$ 的正规子群，这两个正规子群称为 $G$ 的平凡正规子群
• 如果群 $G$ 只有平凡的正规子群，且 $G \neq{e}$，则称 $G$ 为单群
• 如果 $G$ 是交换群，则 $G$ 的一切子群都是 $G$ 的正规子群
• 设 $H, K$ 都是 $G$ 的子群，如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群且 $H \subseteq K$，则 $H$ 也是 $K$ 的正规子群
• 设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群，如果 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]=2$，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群
• 若 $H$ 是 $K$ 的正规子群，$K$ 是 $G$ 的正规子群，$K$ 不一定是 $G$ 的正规子群

性质定理

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群，则下列四个条件等价：

• $H$ 是 $G$ 的正规子群
• 对任意的 $a \in G$，有 $a H a^{-1}=H$
• 对任意的 $a \in G$，有 $a H a^{-1} \subseteq H$
• 对任意的 $a \in G$，$h \in H$，有 $a h a^{-1} \in H$

设 $G$ 为群，$H_{1}$，$H_{2}$ 是 $G$ 的正规子群，则

$$H_{1} \cap H_{2} \mathrm{与} H_{1} H_{2}$$

都是 $G$ 的正规子群

• 事实上，前面提到，两个子群的交一定是子群，而两个子群的合成要是子群的充分必要条件是可交换。而只要其中一个子群是正规子群，那么就是可交换的

陪集的乘法

正规子群的基本特点是：它的每一个左陪集与相应的右陪集完全一致。因此，对于群 $G$ 的正规子群 $H$，可不必区分它的左陪集 $a H$ 与右陪集 $H a$，而直接称 $a H$ 或 $H a$ 为它的一个陪集。用 $G / H$ 表示它的所有陪集组成的集合，即

$$G / H=\{a H \mid a \in G\}$$

下面规定 $G / H$ 的运算，以使 $G / H$ 关于给定的运算构成群。

对任意的 $a H, b H \in G / H$，规定：

$$(a H) \cdot(b H)=(a b) H$$

设 $a^{\prime} H=a H$，$b^{\prime} H=b H$，则

$$\begin{aligned} a^{\prime} H \cdot b^{\prime} H & =\left(a^{\prime} b^{\prime}\right) H=a^{\prime}\left(b^{\prime} H\right)=a^{\prime}(b H)=a^{\prime}(H b) \\ & =\left(a^{\prime} H\right) b=(a H) b=a(H b)=(a b) H \\ & =a H \cdot b H \end{aligned}$$

所以上述乘法是 $G / H$ 的一个代数运算。

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的一个正规子群，则 $H$ 的所有陪集组成的集合

$$G / H=\{a H \mid a \in G\}$$

关于陪集的乘法 $a H \cdot b H=(a b) H$ 构成群。

商群

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群。$H$ 的所有陪集 $G / H$ 关于陪集的乘法构成的群称为群 $G$ 关于子群 $H$ 的商群，仍记作 $G / H$。

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群，则

• 商群 $G / H$ 的单位元是 $e H(=H)$
• $a H$ 在 $G / H$ 中的逆元是 $a^{-1} H$

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的任一子群。如果 $G$ 是交换群，则商群 $G / H$ 也是交换群。由于 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]$ 就是 $H$ 在 $G$ 中的陪集的个数，所以 $|G / H|= [G:H]$。特别地，当 $G$ 是有限群时，

$$|G / H|=[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$$

有限群 $G$ 的商群的阶是群 $G$ 的阶数的因子。

同态

定义

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射。如果对任意的 $a,b \in G$ 有

$$\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$$

则称 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个同态映射，简称同态

• 当同态映射 $\phi$ 是满射时，称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满同态，并称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同态，记作 $\phi: G \sim G^{\prime}$（或 $G \stackrel{\phi}{\sim} G^{\prime}$）
• 当同态映射 $\phi$ 是单射时，称 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单同态
• 群的同构映射一定是既单且满的同态映射
• 反之，当群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射 $\phi$ 既是单同态又是满同态时，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射
• 在上式中，虽然用同一个记号“$\cdot$”来表示群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的运算，但这不表示等式两边的运算 $a b$ 与 $\phi(a) \phi(b)$ 是一样的

自然同态

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群，对商群 $G / H$，令

$$\begin{aligned} \eta:G & \longrightarrow G / H,\\ a & \longrightarrow a H, \end{aligned}$$

则 $\eta$ 是满映射，且对任意 $a$，$b \in G$，有

$$\eta(a b)=(a b) H=a H \cdot b H=\eta(a) \eta(b)$$

所以 $\eta$ 是 $G$ 到它的商群 $G / H$ 的同态映射。通常称这样的同态映射为自然同态

性质

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射，$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元，$a \in G$，则

• $\phi$ 将 $G$ 的单位元映到 $G^{\prime}$ 的单位元，即 $\phi(e)=e^{\prime}$
• $\phi$ 将 $a$ 的逆元映到 $\phi(a)$ 的逆元，即 $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
• 设 $n$ 是任一整数，则 $\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n}$
• 如果 $\operatorname{ord} a$ 有限，则 $\operatorname{ord} \phi(a) \mid \operatorname{ord} a$

象和原象

设 $\phi$ 为群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的映射，$A, B$ 分别为 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的非空子集，记

$$\begin{aligned} \phi(A) & =\{\phi(x) \mid x \in A\},\\ \phi^{-1}(B) & =\{x \in G \mid \phi(x) \in B\}, \end{aligned}$$

则 $\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别是 $G^{\prime}$ 与 $G$ 的非空子集。$\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别称为子集 $A$ 与 $B$ 在 $\phi$ 下的象与原象

• 注意，$\phi^{-1}(B)$ 仅仅是一个集合的记号，并不表示映射 $\phi$ 是可逆的

同态映射与子群

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射，$H$ 与 $K$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的子群，则

• $\phi(H)$ 是 $G^{\prime}$ 的子群
• $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的子群
• 如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $\phi(H)$ 是 $\phi(G)$ 的正规子群
• 如果 $K$ 是 $G^{\prime}$ 的正规子群，则 $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的正规子群

核

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射，$e^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 的单位元，则称 $e^{\prime}$ 在 $G$ 中的原象

$$\phi^{-1}\left(\left\{e^{\prime}\right\}\right)=\left\{a \in G \mid \phi(a)=e^{\prime}\right\}$$

为同态映射 $\phi$ 的核，记作 $\operatorname{Ker} \phi$

群同态基本定理

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的满同态，$K=\operatorname{Ker} \phi$，则

$$G / K \cong G^{\prime}$$

同态与同构

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射，则 $\operatorname{Ker} \phi$ 是 $G$ 的正规子群。我们知道，群同态保持了群双方的运算。因此，群 $G$ 与其同态象 $\phi(G)$ 在结构上有一定的相似之处。同态核可以看成是群 $G$ 与其同态象 $\phi(G)$ 之间的相似程度的一个度量。如果 $\operatorname{Ker} \phi=\{e\}$，则 $G \cong \phi(G)$，从而 $G$ 与 $\phi(G)$ 的结构完全相同。如果 $\operatorname{Ker} \phi=G$，即 $\phi(G)=\left\{e^{\prime}\right\}$，则不能由 $\phi(G)$ 获得群 $G$ 的任何信息。而在其他情况下，$\phi(G)$ 都或多或少地给出了群 $G$ 的部分信息。另一方面，由于同态核 $\operatorname{Ker} \phi$ 是群 $G$ 的正规子群，所以由商群 $G / \operatorname{Ker} \phi$ 又可以反过来了解群 $G$ 的同态象 $\phi(G)$ 的性质

应用群同态基本定理证明群的同构，一般有以下五个步骤：

1. 建立群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素之间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
2. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满映射
3. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射
4. 计算同态的核 $\operatorname{Ker} \phi$
5. 应用群同态基本定理得 $G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime}$

第二同构定理

设 $H$ 为 $G$ 的子群，$K$ 为 $G$ 的正规子群，则 $H \cap^{\prime} K$ 是 $H$ 的正规子群且

$$H /(H \cap K) \cong H K / K$$