置顶

复数相关

形式转换

$$\begin{array}{c} z=a+bj\\ z=r(\cos\theta+j\sin\theta)\\ z=re^{j\theta} \end{array}$$

其中

$$\begin{array}{c} a=r\cos\theta,\ b=r\sin\theta\\ r=|a^2+b^2|,\ \theta=\arctan\frac{b}{a}\\ \end{array}$$

一些性质

$$\begin{array}{c} e^{j\omega}+e^{-j\omega}=2\cos\omega,\ e^{j\omega}-e^{-j\omega}=2j\sin\omega\\ \tan\omega = \frac{1}{j}\frac{e^{j\omega}-e^{-j\omega}}{e^{j\omega}+e^{-j\omega}}, \cot\omega = j\frac{e^{j\omega}+e^{-j\omega}}{e^{j\omega}-e^{-j\omega}} \end{array}$$

或者写成 $W_{N}^{k}$ 的形式

$$\begin{array}{c} \cos\omega=\frac{1}{2}\left( W_{N}^{-\frac{\omega}{2\pi} N}+ W_{N}^{\frac{\omega}{2\pi} N}\right)\\ \sin\omega=\frac{1}{2j}\left( W_{N}^{-\frac{\omega}{2\pi}N}-W_{N}^{\frac{\omega}{2\pi} N}\right)\\ \end{array}$$

转换为幅度相位形式

$$\begin{array}{c} e^{-j\omega_1}+e^{-j\omega_2}=2\cos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}e^{-j\frac{\omega_1+\omega_2}{2}}\\ e^{-j\omega_1}-e^{-j\omega_2}=2j\sin\frac{\omega_2-\omega_1}{2}e^{-j\frac{\omega_1+\omega_2}{2}} \end{array}$$

关于频率

概念辨析

• 模拟频率：我们通常所说的频率，在没有特别指明的情况下，指的是模拟频率，这是一种自然界存在的物理特性，用 $f$ 表示，其单位为 Hz
• 模拟角频率：$\Omega = 2\pi f$，单位为 rad/s
• 数字频率：全称归一化数字角频率，其物理意义是相邻两个采样点之间所变化的弧度数，单位为弧度(rad)，数学符号常用 $\omega$ 表示，单位为 rad
• 采样频率：采样频率是指在数字信号处理中，对连续时间信号进行离散化处理时，每秒钟进行采样的次数，用户 $f_s$ 表示，单位是 Hz
• 采样周期：$T=1/f_s$，单位是 s

$$\omega=\Omega T=\frac{\Omega}{f_s}=2\pi\frac{f}{f_s}$$

区分

• 离散时间傅里叶变换 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 中的 $\omega$ 是数字频率，以 $2\pi$ 为周期
• 连续时间傅里叶变换 $X\left(\mathrm{j} \Omega\right)$ 中的 $\Omega$ 是模拟频率，不一定有周期
• 滤波器的频率响应 $H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 中的 $\omega$ 是数字频率，以 $2\pi$ 为周期
• 理想采样中，用 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 调制 $s(t)$ 得到冲激串形式的连续时间信号，其中的 $\Omega_{N}$ 和 $\Omega_{s}$ 是模拟角频率
• 理想采样的最终结果中，$\Omega T$ 是数字频率
• 理想重构中的理想重构滤波器 $H_{r}(j\Omega)$ 是模拟频率滤波器，$\Omega_{\mathrm{c}}=\Omega_{\mathrm{s}} / 2=\pi / T$ 是模拟频率

三种卷积的比较

线性卷积

• $$y[n]=x[n] * h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$$
• 适用范围：可无限长，可有限长；可离散，可连续
• 结果长度：$L=M+N-1$

循环卷积

• $L_{N}$ 点循环卷积为 $$x[n] \circledN y[n] =\left(\sum_{m=0}^{L_N-1} x[m] y\left[((n-m))_{L_N}\right]\right) R_{L_N}[n]$$
• 适用范围：有限长；离散信号
• 结果长度：$L_N = K \ge \max\{N, M\}$

周期卷积

• $$\tilde{x}[n]=\tilde{x}_{1}[n] \circledast \tilde{x}_{2}[n]=\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{x}_{1}[m] \tilde{x}_{2}[n-m]$$
• 适用范围：周期为 $N$ 的周期序列
• 结果长度：$N=N_1=N_2$

三者关系

• 设循环卷积点数为 $L_{N}$，线性卷积最大的下标为 $L-1$
  • 当 $L_N<L$ 时，循环卷积是线性卷积以 $L_{N}$ 为周期的混叠
  • 当 $L_N=L$ 时，循环卷积=线性卷积
  • 当 $L_N>L$ 时，循环卷积是线性卷积末尾补 $L_N-L$ 个零
• 对周期卷积取主值序列得到循环卷积

类卷积的计算技巧

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-2k]$$ $$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n+k]$$

第一章 离散时间信号和系统基础

信号的表示

离散时间信号在数学上表示成数的序列。序列 $x$ 记作

$$x=\{x[n]\},\quad-\infty<n<+\infty$$

其中 $n$ 是整数，$x[n]$ 是序列的第 $n$ 个数，也称为序列的第 $n$ 个样本。为了方便，$x[n]$ 往往就表示整个序列。

• 当 $n$ 不为整数时，$x[n]$ 的取值不是零，而是无定义。
• 序列的能量定义成 $$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] x^{*}[n]$$ 其中 $x^{*}[n]=\operatorname{Re}\{x[n]\}-\operatorname{jIm}\{x[n]\}$，称为 $x[n]$ 的共轭。

信号的分类

序列一般按长度分成如下几类：

• 有限长序列： $x[n]$ 的样本值在有限长区间 $N_{1} \leqslant n \leqslant N_{2}$ 之内不全为零，其他区间全为零，其中 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 是有限整数。
• 右边序列： $x[n]$ 的样本值在区间 $n \geqslant N_{1}$ 之内不全为零，在 $n<N_{1}$ 区间全为零。
• 左边序列： $x[n]$ 的样本值在区间 $n \leqslant N_{2}$ 之内不全为零，在 $n>N_{2}$ 区间全为零。
• 双边序列： $x[n]$ 的样本值在整个 $-\infty \leqslant n \leqslant \infty$ 区间都不全为零，可以看成是由一个右边序列加一个左边序列得到的。
• 对于在区间 $n <0$ 取值全为零的序列，我们称之为因果序列，它可以是右边序列或有限长序列。反之，凡是在 $n<0$ 存在非零值的序列，就不是因果序列。
• 将序列样本值不全为零的区间简称为序列的非零区间。

信号的基本运算

• 移位 $y[n]=x\left[n-n_{0}\right]$
• 反转 $y[n]=x[-n]$
• 标加 $y[n]=a+x[n]$
• 矢加 $y[n]=x[n]+h[n]$
• 标乘 $y[n]=a \cdot x[n]$
• 矢乘 $y[n]=x[n] \cdot h[n]$

卷积

$$y[n]=x[n] * h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

• 满足交换律
  即 $$\begin{aligned} x[n] * h[n] & =h[n] * x[n] \\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k] h[k] \end{aligned}$$
• 满足分配律 $$x[n] *\left(h_{1}[n]+h_{2}[n]\right)=x[n] * h_{1}[n]+x[n] * h_{2}[n]$$
• 满足结合律 $$\left(x[n] * h_{1}[n]\right) * h_{2}[n]=x[n] *\left(h_{1}[n] * h_{2}[n]\right)$$
• 如果 $x[n]$ 的非零区间是 $N_{0} \leqslant n \leqslant N_{1}$，长度为 $L_{0}$，$h[n]$ 的非零区间是 $N_{2} \leqslant n \leqslant N_{3}$，长度为 $L_{1}$，则 $x[n] * h[n]$ 的非零区间是 $N_{0}+N_{2} \leqslant n \leqslant N_{1}+N_{3}$，长度为 $L_{0}+L_{1}-1$。
• $$\begin{array}{c} x[n] * \delta[n]=x[n] \\ x[n] * \delta\left[n-n_{0}\right]=x\left[n-n_{0}\right] \end{array}$$

相关

两个序列的互相关运算定义成

$$r_{x h}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x^{*}[k] h[k+n]$$

容易证明互相关与卷积有如下关系

$$r_{x h}[n]=x^{*}[-n] * h[n]$$

需要注意的是互相关不满足交换律。
一个序列的自相关运算定义成

$$r_{x x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x^{*}[k] x[k+n]$$

基本序列

单位样本序列

$$\delta[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & n=0 \\ 0, & n \neq 0 \end{array}\right.$$

任何序列都可以表示成单位样本序列移位的加权和，即

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k]$$

单位阶跃序列

$$u[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1,& n \geqslant 0 \\ 0,& n<0 \end{array}\right.$$

单位阶跃序列与单位样本序列间具有如下关系

$$\begin{array}{c} \delta[n]=u[n]-u[n-1] \\ u[n]=\sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k] \\ u[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \end{array}$$

所以 $\delta[n]$ 是 $u[n]$ 的差分，$u[n]$ 是 $\delta[n]$ 的累加。

矩形序列

$$R_{N}[n]=\left\{\begin{array}{l} 1,0 \leqslant n \leqslant N-1 \\ 0,\quad \mathrm{其他} \end{array}\right.$$

指数序列

$$x[n]=a^{n}$$

其中 $a$ 为常数。

• 如果 $a$ 是实数，则序列为实指数序列，当 $|a| \neq 1$ 时，序列的幅度按指数增长或衰减。
• 如果 $a$ 是复数，即 $a=r \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}$，其中 $r$ 和 $\omega_{0}$ 是实常数，则序列为复指数序列。
• 当 $a$ 是幅度为 $1$ 的复数，即 $a=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}$ 时，$x[n]=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}=\cos \left(\omega_{0} n\right)+\mathrm{j} \sin \left(\omega_{0} n\right)$

余弦序列（正弦序列）

$$x[n]=A \cos \left(\omega_{0} n+\phi\right)$$

其中，$A$、$\omega_{0}$ 和 $\phi$ 是常数。$A$ 为幅度，$\omega_{0}$ 为数字频率，单位是 $\mathrm{rad}$，$\phi$ 为初始相位，单位也是 $\mathrm{rad}$

为了数学推导方便，常常将余弦序列和正弦序列表示成复指数序列的加权和的形式，即

$$\begin{array}{l} A \cos \left(\omega_{0} n+\phi\right)=\frac{A}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0} n}\right) \\ A \sin \left(\omega_{0} n+\phi\right)=\frac{A}{2 \mathrm{j}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0} n}\right) \end{array}$$

序列的性质

周期性

如果序列满足 $x[n]=x[n+N]$，$-\infty<n<\infty$ 其中 $N$ 为整数，则 $x[n]$ 是周期序列，周期为 $N$。

• 连续时间余弦信号是周期信号，但余弦序列不一定是周期序列

余弦序列满足

$$\begin{aligned} A \cos \left(\omega_{0} n+\phi\right) & =A \cos \left(\omega_{0} n+\phi+2 \pi k\right) \\ & =A \cos \left[\omega_{0}\left(n+2 \pi k / \omega_{0}\right)+\phi\right] \end{aligned}$$

其中 $k$ 为整数。根据定义，序列的周期必须是整数。所以当 $k$ 取某个整数能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 是整数的情况下，该余弦序列才是周期的；而如果无论 $k$ 取何值，都不能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 是整数，则该余弦序列就不是周期序列。具体来说，分成三种情况：

• $2 \pi / \omega_{0}$ 是整数 $N$ 时，$k$ 取 $1$ 就能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 为整数，所以序列是周期的，且周期为 $2 \pi /\omega_{0}=N$
• $2 \pi / \omega_{0}$ 是有理数 $P / Q$ 时，其中 $P$ 和 $Q$ 是互素的整数，$k$ 取 $Q$ 就能使 $2 \pi k / \omega_{0}$ 为整数 $P$，所以序列也是周期的，周期为 $\left(2 \pi / \omega_{0}\right) \cdot Q=P$。
• $2 \pi / \omega_{0}$ 是无理数时，序列是非周期序列。

奇偶对称性

一个实数序列如果满足如下的对称特性则称为偶序列

$$x[n]=x[-n]$$

如果满足如下的反对称特性则称为奇序列。

$$x[n]=-x[-n]$$

任何一个实数序列都可以分解成一个偶序列 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和一个奇序列 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 之和，即

$$x[n]=x_{\mathrm{e}}[n]+x_{\mathrm{o}}[n]$$

其中 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 可以从原序列通过以下运算得到

$$\begin{array}{l} x_{e}[n]=\frac{x[n]+x[-n]}{2} \\ x_{\mathrm{o}}[n]=\frac{x[n]-x[-n]}{2} \end{array}$$

$x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 分别称为 $x[n]$ 的对称分量和反对称分量。

共轭对称性

一个复数序列如果满足

$$x[n]=x^{*}[-n]$$

则称为共轭对称序列。

• 共轭对称序列的实部是偶序列，虚部是奇序列。
• 共轭对称序列的幅度是偶序列，相位是奇序列。

复数序列如果满足

$$x[n]=-x^{*}[-n]$$

则称为共轭反对称序列。

• 共轭反对称序列的实部是奇序列，虚部是偶序列。

任何复数序列都可以分解成一个共轭对称序列 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和一个共轭反对称序列 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 之和，即

$$x[n]=x_{\mathrm{e}}[n]+x_{\mathrm{o}}[n]$$

其中 $x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 可以从原序列通过以下运算得到

$$\begin{array}{l} x_{\mathrm{e}}[n]=\frac{x[n]+x^{*}[-n]}{2} \\ x_{\mathrm{o}}[n]=\frac{x[n]-x^{*}[-n]}{2} \end{array}$$

$x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{o}}[n]$ 分别称为 $x[n]$ 的共轭对称分量和共轭反对称分量。

离散时间系统的基础概念

在数学上，离散时间系统可以定义成一种变换或算子，它把输入的离散时间信号 $x[n]$ 映射成输出的离散时间信号 $y[n]$，记作

$$y[n]=T\{x[n]\}$$

其中输入信号称为激励，输出信号称为响应。如果输入信号是单位样本序列，即 $x[n]=\delta[n]$，则相应的输出信号称为单位脉冲响应，用 $h[n]$ 表示，即

$$h[n]=\mathrm{T}\{\delta[n]\}$$

另外，我们定义系统对单位阶跃序列的响应为单位阶跃响应，用 $s[n]$ 表示，即

$$s[n]=\mathrm{T}\{u[n]\}$$

离散时间系统的分类

无记忆和有记忆系统

一个系统，如果任一时刻 $n$ 的输出（简称当前输出）都只和时刻 $n$ 的输入（简称当前输入）有关，则该系统称为无记忆系统。

线性和非线性系统

一个系统, 如果满足如下的叠加性质

$$\mathrm{T}\left\{a x_1[n]+b x_2[n]\right\}=a \mathrm{~T}\left\{x_1[n]\right\}+b \mathrm{~T}\left\{x_2[n]\right\}$$

其中 $a$ 和 $b$ 是任意常数，则该系统称为线性系统。

时不变和时变系统

一个系统，$\mathrm{T}\{x[n]\}=y[n]$，如果满足

$$\mathrm{T}\left\{x\left[n-n_0\right]\right\}=y\left[n-n_0\right]$$

其中，$n_0$ 为任意整数，即输入序列的任意移位引起输出序列相同方式的移位，则该系统称为时不变系统，又称移不变系统。

因果和非因果系统

输出变化不会发生在输入变化之前的系统称为因果系统，即当前输出样本只取决于当前及以前的输入样本，而和以后的输入样本无关。这也就意味着，如果 $n \leqslant n_0$ 时 $x_1[n]=x_2[n]$，则有 $n \leqslant n_0$ 时 $\mathrm{T}\left\{x_1[n]\right\}=\mathrm{T}\left\{x_2[n]\right\}$。

稳定和不稳定系统

对任意的有界输入都产生有界输出的系统称为稳定系统，即当 $|x[n]|<\infty, \forall n$ 时，$|\mathrm{T}\{x[n]\}|<\infty, \forall n$。一个不稳定系统可能使输出无限制增长，以至于产生溢出，所以是没有实用价值的。需要注意的是，一个不稳定的系统可能会对某些有界输入产生有界输出。

线性时不变系统

线性时不变（LTI）系统是既满足线性性质也满足时不变性质的系统。

LTI 系统有一个重要特性，就是输出 $y[n]$ 可表示成输入 $x[n]$ 与单位脉冲响应 $h[n]$ 的卷积，即

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k] h[k]$$

因此系统的输入/输出映射关系完全由 $h[n]$ 表征。

LTI系统的性质

• 根据卷积的交换律，将输入信号与单位脉冲响应互换，输出信号不变
• 根据卷积的结合律和交换律，两个系统级联，可以交换级联顺序而使输出不变，还可将级联系统等效为一个系统
• 根据卷积的分配律，两个系统并联，可以等效为一个系统
• 因果系统的零输入响应一定是0，但是 LTI 系统不一定
• 因果系统在因果信号的激励下，响应也为因果信号，但是 LTI 系统不一定

LTI系统的分类

因果系统

LTI 系统是因果系统的充要条件是，单位脉冲响应是一个因果序列，即

$$h[n]=0, n<0$$

稳定系统

LTI 系统是稳定系统的充要条件是，单位脉冲响应是一个绝对可和的序列，即

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$$

有限脉冲响应和无限脉冲响应系统

我们定义单位脉冲响应有限长的 LTI 系统为有限脉冲响应（FIR）系统，单位脉冲响应无限长的 LTI 系统为无限脉冲响应（IIR）系统。这两类系统在系统特性、设计和实现方法等各方面都有很大区别，所以我们通常将它们分开讨论。

常用的LTI系统

名称	方程	单位冲激响应	分类
理想延迟系统	$y[n]=x\left[n-n_{\mathrm{d}}\right]$	$h[n]=\delta\left[n-n_{\mathrm{d}}\right]$	FIR，因果，稳定
累加器系统	$y[n]=\sum_{k=\infty}^0 x[n-k]$	$h[n]=\sum_{k=\infty}^0 \delta[n-k]=u[n]$	IIR，因果，不稳定
滑动平均系统	$y[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1_k} \sum_{k=-M_1}^{M_2} x[n-k]$	$h[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1_k} \sum_{k=-M_1}^{M_2} \delta[n-k]= \begin{cases}\frac{1}{M_1+M_2+1}, & -M_1 \leqslant n \leqslant M_2 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$	FIR，非因果，稳定
后向差分系统	$y[n]=x[n]-x[n-1]$	$h[n]=\delta[n]-\delta[n-1]$	FIR，因果，稳定
前向差分系统	$y[n]=x[n+1]-x[n]$	$h[n]=\delta[n+1]-\delta[n]$	FIR，非因果，稳定

线性常系数差分方程

LTI系统中有一类重要的子系统，这类系统的输入 $x[n]$ 和输出 $y[n]$ 之间满足如下的 $N$ 阶线性常系数差分方程

$$\sum_{k=0}^N a_k y[n-k]=\sum_{k=0}^M b_k x[n-k]$$

其中，$M$ 和 $N$ 是有限整数。所谓常系数，是指系数里没有 $n$ 这样的变系数，所谓线性，是指输入和输出都只有一次幂，且没有相互交叉的乘积项。

• 差分方程的求和项数是有限的，而用卷积表示的输入和输出间的映射关系式可能包含无穷项求和
• 差分方程中可以包含递归项 $y[n-k], k>0$，而卷积和式中则没有。
• 不是所有的 LTI 系统都可以用差分方程表示，比如理想选频滤波器等
• 差分方程描述的系统也不一定是 LTI 系统。

第二章 z 变换

z 变换的定义

双边

序列 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 定义为

$$X(z)=\mathscr{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

式中 $z$ 是一个连续复变量。上式定义的 $z$ 变换称作双边 $z$ 变换

• 序列的 $z$ 变换是复变量 $z^{-1}$ 的幂级数，其系数是序列 $x[n]$ 在各 $n$ 时的值，有时也把 $X(z)$ 称为序列 $x[n]$ 的生成函数。
• $z$ 变换也并不是对于所有序列或所有 $z$ 值都是收敛的。对于序列 $x[n]$，使 $z$ 变换收敛的 $z$ 值之集合称为收敛域（ROC）

单边

单边 $z$ 变换定义为

$$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

• 对于因果信号 $x[n]$，由于 $n<0$ 时 $x[n]=0$，单边和双边 $z$ 变换相等，否则不相等。
• $x[n]$ 的单边 z 变换等于 $x[n]\cdot u[n]$ 的双边 z 变换，收敛域位于最大模值极点所在圆的外边
• 单边 z 变换的幂级数展开式中不包括 z 的正幂次项
• 不是每一个 z 函数都能是一个单边 z 变换
• 若将一个 z 的有理函数写成 z 的多项式之比，若该有理函数是一个单边变换，其分子的阶次不能高于分母阶次。

收敛域

离散信号傅里叶变换的收敛条件是序列绝对可和，则 $z$ 变换收敛要求

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] z^{-n}\right|<\infty$$

• 由于序列 $x[n]$ 乘上了实指数 $z^{-n}$，因此即使序列的傅里叶变换不满足收敛条件，但其 $z$ 变换仍可能收敛。
• 单位阶跃序列 $\varepsilon[n]$ 不满足绝对可和，因而其傅里叶变换不能直接由级数收敛求得。然而当 $|z|>1$ 时，$z^{-n} \varepsilon[n]$ 满足绝对可和，因而 $\varepsilon[n]$ 的 $z$ 变换收敛，其收敛域为 $1<|z|<\infty$
• 某个 $z$ 点是否在收敛域内只与模 $|z|$ 有关。
• 如果某个 $z$ 在收敛域内，则位于同一个圆（以原点为中心，以 $|z|$ 为半径）上的所有 $z$ 也都在收敛域内。
• 如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换收敛域包括单位圆，则 $x[n]$ 的傅里叶变换也收敛。
• 收敛域内不包括任何极点。这是由于 $X(z)$ 在极点处，其值无穷大，$z$ 变换不收敛。故收敛域不包括极点，而常常以 $X(z)$ 的极点作为收敛域的边界。
• 如果 $x[n]$ 是有限长序列，那么收敛域是整个 $z$ 平面，可能除去原点（$z=0$）和/或无穷远（$z=\infty$）。
• 如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换有理，则其收敛域被极点所界定，或延伸到无穷远。
• 如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换有理，并且 $x[n]$ 是右边序列，那么收敛域位于最外层极点的外边。如果 $x[n]$ 是因果序列，那么收敛域包括无穷远处。
• 如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换有理，并且 $x[n]$ 是左边序列，那么收敛域位于最里层非零极点的里边。如果 $x[n]$ 是反因果序列，那么收敛域包括原点。

收敛模式总结

• 因果序列的 ROC 总是包含 $z=+\infty$
• 绝对可和序列的 ROC 总是包含 $|z|=1$

零点和极点

当 $z$ 变换收敛并且可以表示成一个简单的有理函数，即

$$X(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}}=\frac{P(z)}{Q(z)}$$

• 使 $X(z)=0$ 的 $z$，称为 $X(z)$ 的零点
• 使 $X(z)$ 无穷大的 $z$，称为 $X(z)$ 的极点。
• 上式中，$P(z)$ 有 $M$ 个根是 $X(z)$ 的零点，$Q(z)$ 有 $N$ 个根是 $X(z)$ 的极点。这些根位于 $z$ 平面的非零区域（包括 $\infty$，不包括原点）。
• 除此之外，若 $M>N$，则还有 $M-N$ 阶极点在 $z=0$；若 $M<N$，则还有 $N-M$ 阶零点在 $z=0$。
• 也就是说，$z$ 变换在 $z$ 平面内总是具有相同数目的零点和极点。
• 无论 $z$ 变换以何种形式给出，只要分子和分母的根的个数不相等，就需将 $z =0$ 和 $z=+\infty$ 分别带入检测遗漏的零点或极点。
• 对于系数全部为实数的 $z$ 变换，其复数零点或极点一定是以两两互为共轭的形式成对出现的，而实数零点和极点则可以单独存在。
• 在 $z$ 变换的收敛域图上，常常用“o”标出零点，用“×”标出极点。
• 非全零的有限长因果序列 $x[n]$ 的 $z$ 变换在 $z=0$ 处一定是极点
• 收敛域里可以有零点，不能有极点

有理分式求零极点的步骤

1. 上下乘以 $z$ 的幂次使所有 $z$ 的幂次为非负，设此时分子最高次是 $A$，分母最高次是 $B$
2. 求出分子的 $A$ 个多项式零点，注意 $(z^n-1)$ 的零点是 $\omega_{n}^k, \quad k=0,1,2,\cdots, n-1$
3. 同理求出分母的 $B$ 个多项式零点
4. 若 $A<B$，则还有 $B-A$ 个零点在 $z=+\infty$
5. 若 $A>B$，则还有 $A-B$ 个极点在 $z=+\infty$
6. 比较所有零极点，若有相同，则抵消
7. 写出最终答案，须标明阶数，画图也要标明阶数

常见序列的 z 变换及收敛域

单位取样序列

$$\mathscr{Z}[\delta[n]]=\sum_{n=0}^{\infty} \delta[n] z^{n}=1, \quad 0 \leqslant|z| \leqslant \infty$$

单位阶跃序列

$$\begin{array}{c} \mathscr{Z}[\varepsilon[n]]=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}, \quad|z|>1 \\ \mathscr{Z}[-\varepsilon(-n-1)]=1-\frac{1}{1-z}=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}, \quad|z|<1 \end{array}$$

斜变序列

$$\begin{array}{l} \mathscr{Z}[n \varepsilon[n]]=\sum_{n=0}^{\infty} n z^{-n}=\frac{z}{(z-1)^{2}}, \quad|z|>1 \\ \mathscr{Z}\left[n^{2} \varepsilon[n]\right]=\frac{z(z+1)}{(z-1)^{3}}, \quad|z|>1 \\ \mathscr{Z}\left[n^{3} \varepsilon[n]\right]=\frac{z\left(z^{2}+4 z+1\right)}{(z-1)^{4}}, \quad|z|>1 \end{array}$$ $$\mathscr{Z}[-n \varepsilon(-n-1)]=\frac{z}{(z-1)^{2}}, \quad|z|<1$$

单边指数序列

$$\begin{array}{c} \mathscr{Z}\left[a^{n} \varepsilon[n]\right]=\frac{1}{1-a z^{-1}}=\frac{z}{z-a}, \quad|z|>|a| \\ \mathscr{Z}\left[-a^{n} \varepsilon(-n-1)\right]=\frac{1}{1-a z^{-1}}=\frac{z}{z-a}, \quad|z|<|a| \\ \mathscr{Z}\left[n a^{n} \varepsilon[n]\right]=\frac{a z^{-1}}{\left(1-a z^{-1}\right)^{2}}=\frac{a z}{(z-a)^{2}}, \quad|z|>|a| \\ \mathscr{Z}\left[n^{2} a^{n} \varepsilon[n]\right]=\frac{a z(z+a)}{(z-a)^{3}}, \quad|z|>|a| \end{array}$$

双边指数序列

$$\begin{aligned} \mathscr{Z}\left[b^{|n|}\right] & =\frac{1}{1-b z^{-1}}-\frac{1}{1-b^{-1} z^{-1}} \\ & =\frac{b^{2}-1}{b} \frac{z}{(z-b)\left(z-b^{-1}\right)}, \quad|b|<|z|<\left|b^{-1}\right| \end{aligned}$$

正弦余弦序列

$$\begin{aligned} \mathscr{Z}\left[\cos \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon[n]\right] & =\frac{1}{2}\left[\frac{z}{z-\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}}+\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0}}}\right] \\ & =\frac{z\left(z-\cos \omega_{0}\right)}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|>1 \end{aligned}$$ $$\begin{align} \mathscr{Z}\left[\sin \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon[n]\right] & = \frac{1}{2 \mathrm{j}}\left[\frac{z}{z-\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0}}}\right] \\ & = \frac{z \sin \omega_{0}}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|>1 \\ \end{align}$$ $$\begin{array}{c} \mathscr{Z}\left[\cos \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(-n-1)\right]=\frac{-z\left(z-\cos \omega_{0}\right)}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|<1 \\ \mathscr{Z}\left[\sin \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon(-n-1)\right]=-\frac{z \sin \omega_{0}}{z^{2}-2 z \cos \omega_{0}+1}, \quad|z|<1 \\ \end{array}$$ $$\begin{align} \mathscr{Z}\left[\beta^{n} \cos \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon[n]\right] & = \frac{1-\beta z^{-1} \cos \omega_{0}}{1-2 \beta z^{-1} \cos \omega_{0}+\beta^{2} z^{-2}} \\ & = \frac{z\left(z-\beta \cos \omega_{0}\right)}{z^{2}-2 \beta z \cos \omega_{0}+\beta^{2}}, \quad|z|>|\beta| \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \mathscr{Z}\left[\beta^{n} \sin \left(\omega_{0} n\right) \cdot \varepsilon[n]\right] & = \frac{\beta z^{-1} \sin \omega_{0}}{1-2 \beta z^{-1} \cos \omega_{0}+\beta^{2} z^{-2}} \\ & = \frac{\beta z \sin \omega_{0}}{z^{2}-2 \beta z \cos \omega_{0}+\beta^{2}}, \quad|z|>|\beta| \\ \end{align}$$

z 反变换

从给定的 $z$ 变换闭式 $X(z)$ 及收敛域还原出原序列 $x[n]$ 的过程称为 $z$ 反变换，表示为

$$x[n]=\mathscr{Z}^{-1}\{X(z)\}$$

求 $x$ 反变换的方法通常有四种：围线积分法（留数法）、观察法、部分分式展开法和幂级数展开法。对于在离散时间 LTI 系统分析中遇到的典型序列和 $x$ 变换，后面三种方法已经足够了。

幂级数展开法

从 $z$ 变换的定义中可以看出，$X(z)$ 定义为 $z^{-1}$ 的幂级数

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

因此，只要在给定的收敛域内把 $X(z)$ 展成 $z^{-1}$ 的幂级数，则序列值 $x[n]$ 就是 $z^{-n}$ 项的系数。

部分分式展开法

在一般情况下，序列的 $z$ 变换可以表示为 $z$ 的有理分式，即

$$X(z)=\frac{N(z)}{M(z)}=\frac{b_{r} z^{r}+b_{r-1} z^{r-1}+\cdots+b_{1} z+b_{0}}{a_{k} z^{k}+a_{k-1} z^{k-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}}$$

求 $z$ 反变换的部分分式展开法，类似于拉氏反变换中的部分分式展开法，将 $X(z)$ 展开成一些简单的部分分式之和，然后分别求出各个分式的 $z$ 反变换，把各反变换相加，便得到 $x[n]$。

常用z反变换

z 变换的性质（双边性质）

线性性质

$$a x[n]+b y[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} a X(z)+b Y(z),\quad \mathrm{ROC 包含} R_{x} \cap R_{y}$$

其中 $a,b$ 为任意常数。ROC 一般为两个序列的 ROC 的交集。如果线性组合使得引入的某些零点抵消了极点，则 ROC 可能扩大。这一性质在 $z$ 反变换中已经用过。

移位性质

$$x\left[n-n_{0}\right] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} z^{-n_{0}} X(z),\quad \mathrm{ROC}=R_{x}$$

其中 $n_{0}$ 为任意整数。其 ROC 同原序列的 ROC，除了可能加上或去除 $z=0$ 或 $z=\infty$ 以外。例如，$\mathscr{Z}{\delta[n]}=1$，在 $z$ 平面处处收敛，而 $\mathscr{Z}{\delta[n-1]}=z^{-1}$，在 $z=0$ 处不收敛。

乘以指数序列（z 域尺度变换性质）

$$a^{n} x[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} X\left(\frac{z}{a}\right),\quad \mathrm{ROC}=|a| R_{x}$$

其中 $a$ 为任意常数。

线性加权（z 域微分性质）

$$n x[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow}-z \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} X(z),\quad \mathrm{ROC}=R_{x}$$

共轭

$$x^{*}[n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} X^{*}\left(z^{*}\right),\quad \mathrm{ROC}=R_{x}$$

• 实序列的 $z$ 变换的复数零点一定以两两互为共轭的形式成对出现
• 对于实数零点，其共轭就等于其本身，所以实数零点可以单独存在
• 复数极点也以共轭对的形式成对出现

反转

$$x[-n] \stackrel{\mathscr{Z}}{\longrightarrow} X\left(\frac{1}{z}\right),\quad \mathrm{ROC}=\frac{1}{R_{x}}$$

由于自变量取倒数，所以零点和极点取倒数，ROC 的边界也取倒数。需要注意的是，序列反转后如果类型改变了，则收敛域的特点也应相应地改变。

卷积

$$x[n] * y[n] \stackrel{\mathscr{P}}{\longrightarrow} X(z) Y(z),\quad \mathrm{ROC 包含} R_{x} \cap R_{y}$$

ROC 是两个 ROC 的交集。如果一个 $z$ 变换的极点和另一个 $z$ 变换的零点互相抵消，则 ROC 可能扩大。

初值定理

如果 $x[n]$ 是因果序列，那么 $x[0]=\lim _{z \rightarrow \infty} X(z)$。

终值定理

如果 $x[n]$ 是因果序列，且 $X(z)$ 的极点处于单位圆 $|z|=1$ 以内（单位圆上最多在 $z=1$ 处有一阶极点），那么

$$\lim _{n \rightarrow \infty} x[n]=\lim _{z \rightarrow 1}[(z-1) X(z)]$$

总结

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { 性质 } & \text { 时域 } & \text { z域 } & \text { 收敛域 } \\ \hline \text { z变换 } & x[n] & \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \\ \hline \text { z反变换 } & & X(z) \\ \hline \text { 线性 } & a x_{1}[n]+b x_{2}[n] & a X_{1}(z)+b X_{2}(z) & \max \left\{R_{x_{11}}, R_{x_{21}}\right\}<|z|<\min \left\{R_{x_{12}}, R_{x_{22}}\right\} \\ \hline \text { 共轭 } & x^{*}[n] & X^{*}\left(z^{*}\right) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域反向 } & x(-n) & X\left(z^{-1}\right) & R_{x_{1}}<\left|z^{-1}\right|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 指数 } & a^{n} x[n] & X\left(a^{-1} z\right) & |a| R_{x_{1}}<|z|<|a| R_{x_{2}} \\ \hline \text { z域反向 } & (-1)^{n} x[n] & X(-z) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { z域微分 } & n x[n] & -z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} X(z) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时移 } & x\left(n-n_{0}\right) & z^{-n_{0}} X(z) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 频移 } & \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n} x[n] & X\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0}} \cdot z\right) & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { z域尺度变换 } & z_{0}^{n} x[n] & X\left(\frac{z}{z_{0}}\right) & R_{x_{1}}<\left|\frac{z}{z_{0}}\right|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域实部 } & \operatorname{Re}[x[n]] & \frac{1}{2}\left[X(z)+X^{*}\left(z^{*}\right)\right] & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域虚部 } & \operatorname{Im}[x[n]] & \frac{j}{2}\left[X(z)-X^{*}\left(z^{*}\right)\right] & R_{x_{1}}<|z|<R_{x_{2}} \\ \hline \text { 时域求和 } & \sum_{k=0}^{n} x(k) & \frac{z}{z-1} X(z) & \\ \hline \text { 时域卷积 } & x_{1}[n] * x_{2}[n] & X_{1}(z) \cdot X_{2}(z) & \max \left\{R_{x_{11}}, R_{x_{21}}\right\}<|z|<\min \left\{R_{x_{12}}, R_{x_{22}}\right\} \\ \hline \text { 时域相乘 } & x_{1}[n] \cdot x_{2}[n] & \frac{1}{2 \pi \mathrm{j}}{ }_{C} \oint X_{1}(v) X_{2}\left(\frac{z}{v}\right) v^{-1} \mathrm{~d} v & \\ \hline \end{array}$$

• 初值定理：若 $x[n]$ 为因果序列 $$x(0)=\lim _{z \rightarrow \infty} X(z)$$
• 初值定理：若 $x[n]$ 为非因果序列 $$x(0)=\lim _{z \rightarrow 0} X(z)$$
• 终值定理：若 $x[n]$ 为因果序列 $$x(\infty)=\lim _{z \rightarrow 1}[(z-1) X(z)]$$
• 帕斯瓦尔定理： $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{1}[n] x_{2}^{*}[n]=\frac{1}{2 \pi \mathrm{j}} \oint_{C} X_{1}(z) X_{2}^{*}\left(\frac{1}{z^{*}}\right) z^{-1} \mathrm{~d} z$$

第三章 傅里叶变换和离散傅里叶级数（DFS）

我们称离散时间信号的傅里叶变换为离散时间傅里叶变换（DTFT），简称傅里叶变换。

定义

很多序列都能用 $\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n}\right\}$ 作为基函数进行正交展开，表示成如下的傅里叶积分形式

$$x[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{~d} \omega$$

上式称为傅里叶反变换，它将序列 $x[n]$ 表示成频率在 $-\pi$ 和 $\pi$ 之间的复指数序列的加权求积分。实际上积分范围选任何 $2 \pi$ 间隔都是可以的。

$$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$$

上式是权重 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的计算公式，称为傅里叶正变换。

• 傅里叶正变换和反变换又分别记作 $$\begin{array}{c} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\mathscr{F}\{x[n]\} \\ x[n]=\mathscr{F}^{-1}\left\{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right\} \end{array}$$

幅度谱和相位谱

我们将 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 称为离散时间信号的傅里叶频谱，或简单地称为频谱。一般来说，$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 是 $\omega$ 的复值函数，可以表示成

$$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+\mathrm{j} X_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}$$

其中，$X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 和 $X_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 分别是 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的实部和虚部。$\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 和 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 分别称为幅度谱和相位谱或幅度和相位。相位 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 不是唯一的，因为对任意 $\omega$，都可以加 $2 \pi$ 的任意整数倍到 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 上，而不会影响 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的值，即

$$\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left[\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+2 \pi k\right]}=\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}$$

其中 $k$ 是整数。当 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的取值仅限在 $(-\pi$，$\pi]$ 时，称作主值相位，记作 $\operatorname{ARG}\left[X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]$ 而把在 $\omega \in[0,\pi)$ 内取值连续的相位函数称作连续相位，记作 $\arg \left[X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]$。
作为复指数序列的权重，当 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 是复数函数时，幅度 $\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 的作用是对复指数序列幅度的加权，相位 $\sphericalangle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的作用是决定复指数序列的初始相位。

周期性

使傅里叶变换无限项求和收敛就是使

$$\begin{array}{c} \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty \\ \left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|=\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}\right| \leqslant \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}\right|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty \end{array}$$

所以序列绝对可和是傅里叶变换存在的充分条件，但不是必要条件。

• 有些序列不是绝对可和但是平方可和，即 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}<\infty$$ 也能有傅里叶变换表示，例如， $$x[n]=\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{c}} n\right)}{\pi n},-\infty<n<\infty$$
• 还有一些序列，例如；$u[n]$、$\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n}$，$-\infty<n<\infty$ 和 $x[n]=1$，$-\infty<n<\infty$ 等，既非绝对可和也非平方可和，若在频域引入冲激函数 $\delta(\omega)$，它们也可以有傅里叶变换表示。

矩形窗*

长度为 $M+1$ 的矩形序列 $w_{\mathrm{R}}[n]=\left\{\begin{array}{ll}1,& 0 \leqslant n \leqslant M \\ 0,& \mathrm{ 其他 }\end{array}\right.$ 称为矩形窗

$$W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{\sin (\omega(M+1) / 2)}{\sin (\omega / 2)} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2}$$

将其简写成

$$W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=W(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2}$$

其中

$$W(\omega)=\frac{\sin (\omega(M+1) / 2)}{\sin (\omega / 2)}$$

是一个实函数，取值可以大于等于或小于零，称之为广义幅度，其绝对值就是幅度谱 $\left|W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$。

由于使 $W(\omega)=0$ 的最小频率值为 $\omega= \pm 2 \pi /(M+1)$，所以 $\left|W_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 即 $|W(\omega)|$ 的主瓣宽（离原点最近的两个零值点之间的距离）为 $4 \pi /(M+1)$，$M$ 越大主瓣宽越小，也就是说时域宽度和频域主瓣的宽度是反比关系。容易得出主瓣的峰值幅度是 $\left.W(\omega)\right|_{\omega=0}=M+1$。

再根据使 $W(\omega)=0$ 的第二个频率是 $\omega= \pm 4 \pi /(M+1)$，得出旁瓣宽是主瓣宽的一半，由此推断第一旁瓣的峰值幅度为 $|W(\omega)|_{\omega=3 \pi /(M+1)}=1 / \sin \left(\frac{3 \pi}{2(M+1)}\right)$，$M$ 较大时，该值约为 $\frac{2(M+1)}{3 \pi}$，所以第一旁瓣与主瓣峰值幅度比约为 $2 /(3 \pi)$，是一个与 $M$ 无关的常数。

相位是 $\omega$ 的线性函数，即是斜率为 $-M / 2$ 且经过原点的直线。但是由于在某些区间 $W(\omega)<0$，又因 $-1=\mathrm{e}^{j \pi}$，即符号的变化对应于相位差 $\pi$，所以在 $W (\omega)$ 的符号发生改变的频率处相位函数有一个 $\pi$ 的突变。

常见非周期序列的傅里叶变换

部分信号只取主周期 $\omega \in [-\pi,\pi]$

单位样值序列

$$\begin{array}{c} x[n]=\delta[n] \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}=1 \end{array}$$

双边矩形序列

$$\begin{array}{c} x[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1,& |n| \leqslant N_{1} \\ 0,& |n|>N_{1} \end{array}\right. \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{\sin \omega\left(N_{1}+\frac{1}{2}\right)}{\sin \frac{\omega}{2}} \end{array}$$

单边矩形序列

$$\begin{array}{c} R_{M}[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0 \leqslant n \leqslant M-1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.\\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{\sin (\omega M / 2)}{\sin (\omega / 2)} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega(M-1) / 2} \end{array}$$

实指数序列

$$\begin{array}{c} x[n]=a^{n} u[n],\quad|a|<1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} x[n]=-a^n u[-n-1],\quad|a|>1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} x[n]=-a^{-n} u[n+1],\quad|a|>1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} x[n]=a^{-n} u[-n],\quad|a|<1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}} \end{array}$$

双边指数序列

$$\begin{array}{c} x[n]=a^{|n|},\quad|a|<1 \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}}+\frac{1}{1-a \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}}-1=\frac{1-a^{2}}{1-2 a \cos \omega+a^{2}} \end{array}$$

复指数序列

$$\begin{array}{c} x[n]=e^{j\omega_0 n} \\ X\left(e^{j w}\right)=2 \pi \delta\left(\omega-\omega_{0}\right) \end{array}$$

实指数子序列

$$\begin{array}{c} x[n]=a^{n} R_N[n],\quad|a|<1 \\ \begin{align} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) & = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a^{n} R_N[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n} \\ & = \sum_{n = 0}^{N-1}\left(a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)^{n} \\ & = \frac{1-a^{N}\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega N}}{1-a \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}}\\ \end{align} \end{array}$$

常数序列

$$\begin{array}{c} x[n]=1,\quad-\infty<n<\infty \\ D T F T[1]=2 \pi \delta(\omega) \end{array}$$

符号函数

$$\begin{array}{c} \operatorname{sgn}[n]=\left\{\begin{array}{c} 1, n>0 \\ 0, n=0 \\ -1, n<0 \end{array}\right. \\ S\left(e^{j \omega}\right)=\frac{1+e^{-j \omega}}{1-e^{-j \omega}} \\ \end{array}$$

阶跃序列

$$\begin{array}{c} x[n]=u[n] \\ X\left(e^{j \omega}\right)=\frac{1}{1-e^{-j \omega}}+\pi \delta(\omega) \\ \end{array}$$

抽样信号

$$\begin{array}{c} x[n]=\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{c}} n\right)}{\pi n} \\ X\left(e^{j w}\right)= \left\{\begin{array}{l} 1, \quad|\omega| \leqslant \omega_{\mathrm{c}} \\ 0, \quad|\omega|>\omega_{\mathrm{c}} \end{array}\right. \end{array}$$

常见周期序列的傅里叶变换

正负交替序列

$$\begin{array}{c} x[n]=(-1)^{n} \\ X\left(e^{j \omega}\right)=2 \pi \delta(\omega-\pi) \\ \end{array}$$

三角函数序列

$$\begin{array}{c} x[n]=\cos \omega_{0} n \\ X\left(e^{j \omega}\right)=2 \pi \cdot \frac{1}{2} \delta\left(\omega-\omega_{0}\right)+2 \pi \cdot \frac{1}{2} \delta\left(\omega+\omega_{0}\right) \\ \end{array}$$

周期样值信号

$$\begin{array}{c} x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(n-kN) \\ X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{2 \pi}{N} \delta\left(\omega-k \frac{2 \pi}{N}\right) \end{array}$$

傅里叶变换与z变换的关系

对于离散信号，将复变量 $z$ 表示成极坐标形式

$$z=r \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}$$

代入定义可得

$$X(z)=X\left(r \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=D T F T\left\{x[n] r^{-n}\right\}$$

指数加权因子 $r^{-n}$ 可以随 $n$ 衰减或递增，这取决于 $r$ 大于或小于 $1$。如果 $r=1$，即 $|z|=1$ 时，序列的 $z$ 变换即等于其傅里叶变换

$$\left.X(z)\right|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}}=\operatorname{DTFT}\{x[n]\}=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

• $z$ 变换是对序列 $x[n]r^{-n}$ 做傅里叶变换
• 傅里叶变换为 $z$ 变换的一个特例，即在复数 $z$ 平面中，半径为 $1$ 的圆上的 $z$ 变换。
• 在 $z$ 平面上，这个圆称为单位圆。
• 离散信号的傅里叶变换即在 $z$ 平面单位圆上的 $z$ 变换。而傅里叶变换的推广，即由 $z$ 平面的单位圆推广至整个 $z$ 平面，则成为 $z$ 变换。
• 对于有些不是绝对可加，傅里叶变换不收敛的序列，只要适当选择 $|z|=r$ 的大小，$z$ 变换就可以收敛，例如 $x[n] = u[n]$
• 存在 $z$ 变换不收敛，而傅里叶变换表示存在的情况，例如抽样信号序列

傅里叶变换的性质

线性性质

$$a x[n]+b y[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} a X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+b Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

其中，$a$ 和 $b$ 是任意常数。

时域移位性质

$$x\left[n-n_{0}\right] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n_{0}} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

其中 $n_{0}$ 是任意整数。

频域移位性质

$$\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n} x[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega-\omega_{0}\right)}\right)$$

频域微分性质

$$n x[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} \frac{\mathrm{d} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}{\mathrm{d} \omega}$$

时域卷积性质

$$x[n] * y[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

频域卷积（时域调制或加窗）性质

$$x[n] y[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta}\right) Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega-\theta)}\right) \mathrm{d} \theta$$

帕斯瓦尔定理

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] y^{*}[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) Y^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{d} \omega$$

对称性质

$$\begin{array}{l} x^{*}[n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right) \\ x^{*}[-n] \stackrel{\mathscr{F}}{\longrightarrow} X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \end{array}$$

再利用线性性质可以得到

$$\begin{array}{l} \operatorname{Re}\{x[n]\}=\frac{x[n]+x^{*}[n]}{2} X_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+X^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \\ \mathrm{j} \operatorname{Im}\{x[n]\}=\frac{x[n]-x^{*}[n]}{2} X_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)-X^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \\ x_{\mathrm{e}}[n]=\frac{x[n]+x^{*}[-n]}{2} X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \\ x_{\mathrm{o}}[n]=\frac{x[n]-x^{*}[-n]}{2} X_{1}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)-X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)}{2} \end{array}$$

容易看出，

• $X_{e}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 满足 $X_{\mathrm{e}}^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)=X_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$，与共轭对称序列的特点相似，我们称这种函数为共轭对称函数。
• $X_{0}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 满足 $X_{0}^{*}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)=-X_{0}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$，称为共轭反对称函数。

容易证明

$$X_{e}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+X_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$$

即任意傅里叶变换函数 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 都能表示成一个共轭对称函数和一个共轭反对称函数之和，分别称为 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的共轭对称分量和共轭反对称分量。具有共轭对称或反对称特性的实函数称为偶函数或奇函数。

• 序列的实部的傅里叶变换是该序列傅里叶变换的共轭对称分量
• 任意实序列的傅里叶变换一定是共轭对称函数
• 序列的共轭对称分量的傅里叶变换是序列傅里叶变换的实部
• 任意共轭对称序列（包括偶序列）的傅里叶变换一定是实函数
• 任意纯虚序列的傅里叶变换一定是共轭反对称函数
• 任意共轭反对称序列的傅里叶变换一定是纯虚函数
• 特别注意：序列的虚部也是实数，序列的虚部的傅里叶变换一定是共轭对称函数

DFS 的定义

一个周期为 $N$ 的周期序列 $\tilde{x}[n]$，对于任一整数 $n$ 和 $r$，有 $\tilde{x}[n]=\tilde{x}[n+r N]$。由于其既非绝对可和又非平方可和，求傅里叶变换不收敛。如果我们引入冲激函数 $\delta(\omega)$，仍然可以构造周期序列的傅里叶变换的函数表达式。那么如何确定由 $\delta(\omega)$ 的加权和所表示的周期序列的傅里叶变换函数呢？这就需要借助离散傅里叶级数（DFS）的计算。

如果我们将周期为 $N$ 的序列 $\tilde{x}[n]$ 分解成若干复指数序列的加权求和，则各复指数序列的周期的最小公倍数应该是 $N$。根据复指数序列的周期与频率的关系，我们得到每个复指数序列的频率 $\omega_{k}$ 与整个序列的周期 $N$ 之间满足

$$2 \pi / \omega_{k}=N / k,\quad k=1,2,\cdots,\infty$$

所以复指数序列的频率只能是

$$\omega_{k}=2 \pi k / N,\quad k=1,\cdots,\infty$$

利用数字频率以 $2 \pi$ 为周期，且频率 $2 \pi$ 等效于频率 $0$，所以独立的频率只有以下 $N$ 个

$$\omega_{k}=2 \pi k / N,\quad k=0,1,\cdots,N-1$$

引入记号

$$W_{N}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(2 \pi / N)}$$

则 DFS 正变换

$$\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}[n] W_{N}^{k n}$$

DFS 反变换

$$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}[k] W_{N}^{-k n}$$

• DFS 正变换是权重 $\tilde{X}[k]$ 的计算公式
• DFS 反变换将周期为 $N$ 的序列表示成 $N$ 个频率在 $[0,2 \pi)$ 区间等间隔分布的复指数序列的加权和。

周期信号的傅里叶变换（傅里叶变换和傅里叶级数的关系）

对于周期为 $N$，DFS 系数为 $\widetilde{X}[k]$ 的周期序列，如果我们将其傅里叶变换看作是在频率 $\omega_{k}=2 \pi k / N,k=0,1,\cdots,N-1$ 处强度正比于 $\tilde{X}[k]$ 的脉冲串，则其傅里叶变换定义成

$$\tilde{X}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{2 \pi}{N} \tilde{X}[k] \delta\left(\omega-\frac{2 \pi k}{N}\right)$$

上式表明周期序列只包括 $N$ 个幅值非零的频率成分，这些频率在 $[0,2\pi)$ 内等间隔均匀分布。周期序列的傅里叶变换是用冲激函数的形式表示这些频率成分的，而 DFS 是将傅里叶变换频率轴归一化并将冲激串的强度表示成序列的形式。

• 周期信号的傅里叶变换也以 $2\pi$ 为周期，这与周期信号的 DFS 以 $N$ 为周期是一致的。
• 上式计算的时候注意傅里叶级数 $\widetilde{X}[k]$ 要代入完整的，不能只有一个主周期。

DFS 的性质

线性性质

$$a \tilde{x}[n]+b \tilde{y}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} a \tilde{X}[k]+b \tilde{Y}[k]$$

其中，$a$ 和 $b$ 为任意常数。当 $\tilde{x}[n]$ 和 $\tilde{y}[n]$ 周期不一致时，将二者周期的最小公倍数作为周期计算 DFS，也满足线性性质。

时域移位性质

$$\tilde{x}\left[n-n_{0}\right] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} W_{N}^{k n_{0}} \tilde{X}[k]$$

其中，$n_{0}$ 是任意整数。

频域移位性质

$$W_{N}^{-n l} \tilde{x}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}[k-l]$$

其中，$l$ 是任意整数。

对偶性质

$$\tilde{X}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} N \tilde{x}[-n]$$

注意两侧的 $n$ 是不同的自变量

对称性质

根据 DFS 的定义式可以得到以下两个变换对

$$\begin{array}{c} \tilde{x}^{*}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}^{*}[-k] \\ \tilde{x}^{*}[-n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}^{*}[k] \\ \end{array}$$

再利用 DFS 的线性性质，有

$$\begin{array}{l} \operatorname{Re}\{\tilde{x}[n]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]+\tilde{x}^{*}[n]\right) \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}_{\mathrm{e}}[k]=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]+\tilde{X}^{*}[-k]\right)\\ \operatorname{jIm}\{\tilde{x}[n]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]-\tilde{x}^{*}[n]\right) \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}_{\mathrm{o}}[k]=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]-\tilde{X}^{*}[-k]\right) \\ \tilde{x}_{\mathrm{e}}[n]=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]+\tilde{x}^{*}[-n]\right) \stackrel{\operatorname{DFS}}{\longrightarrow} \operatorname{Re}\{\tilde{X}[k]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]+\tilde{X}^{*}[k]\right) \\ \tilde{x}_{\mathrm{o}}[n]=\frac{1}{2}\left(\tilde{x}[n]-\tilde{x}^{*}[-n]\right) \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \mathrm{j} \operatorname{Im}\{\tilde{X}[k]\}=\frac{1}{2}\left(\tilde{X}[k]-\tilde{X}^{*}[k]\right) \\ \end{array}$$

• 周期序列的实部的 DFS 是该周期序列 DFS 的共轭对称分量
• 任意实周期序列的 DFS 一定是共轭对称序列
• 周期序列的共轭对称分量的 DFS 是该周期序列 DFS 的实部
• 任意共轭对称周期序列的 DFS 一定是实序列

周期卷积性质

我们定义两个周期为 $N$ 的周期序列 $\tilde{x}_{1}[n]$ 和 $\tilde{x}_{2}[n]$ 的周期卷积为

$$\tilde{x}[n]=\tilde{x}_{1}[n] \circledast \tilde{x}_{2}[n]=\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{x}_{1}[m] \tilde{x}_{2}[n-m]$$

周期卷积与非周期序列的卷积十分相似，区别是周期卷积的两个序列均为周期的，周期为 $N$，求和只在 $1$ 个周期上进行。很容易证明周期卷积的结果也是周期为 $N$ 的序列，即

$$\tilde{x}[n+r N]=\tilde{x}[n]$$

周期卷积也满足交换律，即

$$\tilde{x}_{1}[n] \circledast \tilde{x}_{2}[n]=\tilde{x}_{2}[n] \circledast \tilde{x}_{1}[n]=\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{x}_{2}[m] \tilde{x}_{1}[n-m]$$

时域周期卷积性质：

$$\tilde{x}[n] \circledast \tilde{y}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \tilde{X}[k] \tilde{Y}[k]$$

频域周期卷积性质：

$$\tilde{x}[n] \tilde{y}[n] \stackrel{\mathrm{DFS}}{\longrightarrow} \frac{1}{N}\tilde{X}[k] \circledast \tilde{Y}[k]$$

第四章 LTI 系统的变换域分析

系统函数

我们将 LTI 系统的单位脉冲响应 $h[n]$ 的 $z$ 变换

$$H(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n] z^{-n}$$

称为系统函数。
因为 LTI 系统的输入与输出信号满足如下的卷积关系

$$y[n]=x[n] * h[n]$$

根据 $z$ 变换的卷积性质，有
所以

$$\begin{array}{c} Y(z)=X(z) H(z) \\ H(z)=Y(z) / X(z) \end{array}$$

系统函数也只有给出其 ROC，才能唯一地确定 $h[n]$。

注意 $H(z)$ 是有收敛域的概念的：

• 因果系统的 $H(z)$ 在 $z=+\infty$ 无极点
• 稳定系统的 $H(z)$ 的 ROC 包含单位圆（$|z|=1$ 上无极点）
• 因果稳定系统的 $H(z)$ 的极点都在单位圆内
• FIR 系统的 $H(z)$ 的 ROC 是整个平面（$z=0$ 和 $z=+\infty$ 可能例外），除了 $z=0$ 和 $z=+\infty$ 不可能有其他极点
• IIR 系统的 $H(z)$ 一定有原点和无穷远点以外的极点
• $Y(z)$ 的 ROC 是 $X(z)$ 和 $H(z)$ 的交集，如果有极点被抵消，还可以扩大

逆系统

如果两个系统的系统函数满足
即

$$\begin{array}{c} H(z) H_{\mathrm{i}}(z)=1 \\ H_{\mathrm{i}}(z)=1 / H(z) \end{array}$$

则称二者互为逆系统。两个系统的单脉冲响应满足

$$h[n] * h_{\mathrm{i}}[n]=\delta[n]$$

所以

$$x[n] * h[n] * h_{\mathrm{i}}[n]=x[n]$$

也就是说，任何序列 $x[n]$ 相继经过某系统及其逆系统后，输出信号就是输入信号，即逆系统与原系统的作用相互抵消。

• 只要 $H_{\mathrm{i}}(z)$ 与 $H(z)$ 的 ROC 有交集，则二者互为逆系统。所以一个系统的逆系统不一定唯一。
• 不是所有的系统都有逆系统。比如理想选频滤波器就没有逆系统。

• 而系统函数是有理函数的系统一定有逆系统。

• 一个因果稳定的系统，只有当其系统函数的零点也全在单位圆内时，该系统的逆系统才能是因果稳定的。

• 定义零点和极点都在单位圆内的系统为最小相位系统，系统函数用 $H_{\min }(z)$ 表示
• 反之，极点全在单位圆内，而零点全在单位圆外的系统为最大相位系统，系统函数用 $H_{\mathrm{max}}(z)$ 表示。
• 相应的时域序列 $h_{\mathrm{min}}[n]$ 和 $h_{\mathrm{max}}[n]$ 分别称为最小相位序列和最大相位序列。

频率响应

我们将 LTI 系统的单位脉冲响应 $h[n]$ 的傅里叶变换

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$$

称为系统的频率响应，简称频响。与序列的傅里叶变换相同，频率响应也是 $\omega$ 的周期函数，周期为 $2 \pi$。
一般来说 $H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 是 $\omega$ 的复变函数，可以表示成

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \nless H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega})\right.}$$

我们称 $\left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 为幅度响应或增益，$\nless H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 为相位响应或相移。

系统频率响应的相位 $\nless H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 也是不唯一的，可以加上 $2 \pi$ 的任意整数倍。主值相位记作 $-\pi<\operatorname{ARG}\left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right] \leqslant \pi$，它可能是一个不连续的 $\omega$ 的函数。连续相位记作 $\arg \left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]$。相频特性还可以用群延迟来等价地表示，群延迟定义成连续相位函数对 $\omega$ 的导数的负值，即

$$\operatorname{grd}\left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left\{\arg \left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]\right\}$$

物理意义

LTI 系统的输入与输出信号间满足卷积关系。根据傅里叶变换的卷积性质有

$$Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \\$$

所以

$$\begin{array}{c} \left|Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|=\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \cdot \left| H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \\ \nless Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\nless X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)+\nless H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \end{array}$$

所以幅度响应和相位响应分别表示系统对输入信号幅度和相位的影响。如果这种影响是我们所不需要的，则我们往往称这种影响为幅度失真和相位失真。

• 在 $-\pi<\omega \leqslant \pi$ 整个区间幅度响应为常数的系统是没有幅度失真的系统，并被定义为全通系统
• 在 $-\pi<\omega \leqslant \pi$ 整个区间相位响应全为零的系统是没有相位失真的系统，我们称零相位系统
• 相位是 $\omega$ 的线性函数的系统称为线性相位系统

特征函数

对于 LTI 系统，时域复指数信号 $x[n]=\mathrm{e}^{j\omega_0 n}$ 可以构成相当广泛的一类有用信号，而且 LTI 系统对 $\mathrm{e}^{j\omega_0 n}$ 的响应可以方便地得到。一个 LTI 系统对复指数信号 $\mathrm{e}^{j\omega_0 n}$ 的响应 $y[n]$ 仍是同一个复指数信号，所不同的是幅度上产生了变化，即

$$y[n]=H(\mathrm{e}^{j\omega_0}) \mathrm{e}^{j\omega_0 n}$$

一般说来，一个信号，若系统对该信号的输出仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。

稳态与暂态

以 $x[n]=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}n} u[n]$ 为例，证明该信号经过频率响应为 $H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的稳定 LTI 系统，当时间足够长时，输出信号仍然是 $H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}$。首先根据卷积写出输出信号

$$\begin{aligned} y[n] & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}(n-k)} u[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{n} h[k] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}(n-k)} \\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}(n-k)}-\sum_{k=n+1}^{\infty} h[k] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}(n-k)} \\ & =H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n}-\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n} \sum_{k=n+1}^{\infty} h[k] \mathrm{e}^{-j \omega_{0} k} \end{aligned}$$

对于 FIR 系统（一定稳定），设 $h[n]=0,n<0$ 和 $n>M$，当时间足够长，确切地说是 $n \geqslant M$ 时，上式第 2 项等于 $0$。对于稳定的 IIR 系统，$h[n]$ 绝对可和，样本随着 $n$ 的增加而趋于零，所以上式第 2 项有界，即

$$\left|\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} n} \sum_{k=n+1}^{\infty} h[k] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{0} k}\right| \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty}|h[k]| \leqslant \sum_{k=0}^{\infty}|h[k]|<\infty$$

并且随着 $n \rightarrow \infty$ 而越来越小直至消失。所以上式第 2 项称为暂态响应，而第 1 项称为稳态（稳定）响应，它等同于输入为 $x[n]=\mathrm{e}^{j \omega_{0} n}, -\infty<n<\infty$ 时的输出。所以可以通过求 $\lim _{n \rightarrow \infty} (x[n] * h[n])$ 得到稳态响应，也可以将因果输入替换成双边非因果输入求稳态响应，当然前提是系统稳定。

理想选频滤波器

• 频率选择性滤波器，简称选频滤波器，是指抑制输入信号中的某些频率成分，而让某些频率成分通过的系统。
• 理想选频滤波器是指幅度响应在某些频率范围（称通带）为 $1$，而其余频率范围（称阻带）为 $0$ 的零相位系统。

理想低通滤波器

选取信号的低频成分，而阻止高频成分通过

$$H_{\mathrm{lp}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1,& |\omega|<\omega_{\mathrm{c}} \\ 0,& \omega_{\mathrm{c}}<|\omega| \leqslant \pi \end{array}\right.$$

其中 $\omega_{c}$ 是截止频率。
理想低通滤波器的单位脉冲响应是

$$h_{\mathrm{lp}}[n]=\frac{\sin \left(\omega_{c} n\right)}{\pi n},-\infty<n<\infty$$

理想高通滤波器

频率响应是

$$H_{\mathrm{hp}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 0,& |\omega|<\omega_{c} \\ 1,& \omega_{\mathrm{c}}<|\omega| \leqslant \pi \end{array}\right.$$

其中 $\omega_{c}$ 是截止频率。

$$h_{\mathrm{hp}}[n]=\delta[n]-\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{c}} n\right)}{\pi n},\quad-\infty<n<\infty$$

理想带通滤波器

频率响应是

$$H_{\mathrm{bp}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 0,& |\omega|<\omega_{\mathrm{a}} \\ 1,& \omega_{\mathrm{a}}<|\omega|<\omega_{\mathrm{b}} \\ 0,& \omega_{\mathrm{b}}<|\omega| \leqslant \pi \end{array}\right.$$

其中 $\omega_{\mathrm{a}}$ 和 $\omega_{\mathrm{b}}$ 分别是下截止频率和上截止频率。

$$h_{\mathrm{bp}}[n]=\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{b}} n\right)}{\pi n}-\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{a}} n\right)}{\pi n},\quad-\infty<n<\infty$$

理想带阻滤波器

频率响应是

$$H_{\mathrm{bs}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1,& |\omega|<\omega_{\mathrm{a}} \\ 0,& \omega_{\mathrm{a}}<|\omega|<\omega_{\mathrm{b}} \\ 1,& \omega_{\mathrm{b}}<|\omega| \leqslant \pi \end{array}\right.$$ $$h_{\mathrm{bs}}[n]=\delta[n]-\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{b}} n\right)}{\pi n}+\frac{\sin \left(\omega_{\mathrm{a}} n\right)}{\pi n},-\infty<n<\infty$$

总结

四种理想选频滤波器的频率响应如下图所示。在截止频率处，频率响应无定义，是一个有限值。

四种滤波器的单位脉冲响应都是双边序列，且 $z$ 变换不收敛，因而不能用有限的计算（递推或非递推）来实现理想选频滤波器只能进行因果近似。

差分方程、系统函数和频率响应间的关系

表示 LTI 离散时间系统的常系数线性差分方程的一般形式为

$$\sum_{k=0}^{N} a_{k} y[n-k]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k]$$

直接对上式两端取 z 变换，

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}}=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}$$

• 狭义上，FIR 系统的差分方程没有递归，分母是常数
  • 当然，实际上 FIR 系统的差分方程也可以有递归，此时系统函数的分母不是常数，但是分母是被分子消去的，也就是说极点被零点抵消
• IIR 系统的差分方程一定有递归，$N\ne 0$，所以分母不为常数，即只能表示成有理分式。
• 有一类特殊的 IIR 系统，其系统函数的分子为常数，即零点只在原点或 $\infty$，这种系统又称为全极点系统。
• 方程和系统函数不是一一对应的，通过对系统函数增加相互抵消的零点和极点，可以构造出无穷多等效的差分方程表示。

有理系统函数的频率响应

如果 $H(z)$ 的收敛域包含单位圆 $|z|=1$，即系统稳定，则频率响应 $H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 存在。单位圆上 $\left(z=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的系统函数就是系统的频率响应，即

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H(z)\right|_{z=\mathrm{e} ^{j \omega}}$$

具有实系数系统函数的全通 IIR 系统的一般形式：

$$H_{\mathrm{ap}}(z)=A \prod_{k=1}^{M_{r}} \frac{z^{-1}-d_{k}}{1-d_{k} z^{-1}} \prod_{k=1}^{M_{c}}\left(\frac{\left(z^{-1}-e_{k}^{*}\right)\left(z^{-1}-e_{k}\right)}{\left(1-e_{k} z^{-1}\right)\left(1-e_{k}^{*} z^{-1}\right)}\right)$$

其中

• $A$ 是正常数
• $d_{k}$ 为实数极点
• $1 / d_{k}$ 是实数零点
• $e_{k}$ 和 $e_{k}^{*}$ 是复数极点

• $1 / e_{k}$ 和 $1 / e_{k}^{*}$ 是复数零点

• $|H_{\mathrm{ap}}(z)|=A$

• 全通系统的零点和极点互为共轭倒数关系
• 全通 FIR 系统也满足零点和极点互为倒数的关系
• 任何系统级联一个幅度响应为 1 的全通系统，将得到与之幅度响应完全相同的另外一个系统
• 任意有理系统函数都能表示成最小相位系统和全通系统的级联，即 $$H(z)=H_{\mathrm{min}}(z)H_{\mathrm{ap}}(z)$$

零极点图与频率响应

设 $H(z)$ 的收敛域包括单位圆，将有理系统函数式表示成两个 $z$ 的多项式之比，并因式分解成

$$H(z)=z^{N-M} \frac{b_{0}}{a_{0}} \frac{\prod_{k=1}^{M}\left(z-c_{k}\right)}{\prod_{k=1}^{N}\left(z-d_{k}\right)}$$

• 其中 $c_{k}(k=1,2,\cdots,M)$ 和 $d_{k}(k=1,2,\cdots,N)$ 分别是非零零点和非零极点。
• 如果 $N>M$，则还有 $(N-M)$ 阶零点 $z=0$
• 如果 $N<M$，则还有 $(M-N)$ 阶极点 $z=0$。

于是有

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H(z)\right|_{z=\mathrm{e} ^{j\omega }}=\frac{b_{0}}{a_{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega(M-N)} \frac{\prod_{k=1}^{M}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-c_{k}\right)}{\prod_{k=1}^{N}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right)}$$

上式中

• 分子的因子 $\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-c_{k}\right)$ 是非零零点 $c_{k}$ 至单位圆上点 $\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}$ 的矢量，称为零点矢量
• 分母因子 $\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right)$ 是非零极点 $d_{k}$ 至单位圆上点 $\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}$ 的矢量，称为极点矢量。

求出幅度响应和相位响应

$$\begin{array}{c} \left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\prod_{k=1}^{M}\left|\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-c_{k}\right|}{\prod_{k=1}^{N}\left|\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right|} \\ \arg \left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]=\arg \left[\frac{b_{0}}{a_{0}}\right]+\sum_{k=1}^{M} \arg \left[\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-c_{k}\right]-\sum_{k=1}^{N} \arg \left[\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right]+(N-M) \omega \\ \end{array}$$

从几何角度：

$$\begin{array}{c} \left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}\right)\right|=C \frac{L_{1}}{L_{2} L_{3}} \\ \arg \left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}\right)\right]=D+\phi_{1}-\phi_{2}-\phi_{3}+\omega_{0} \end{array}$$

结论：

• 系统函数的零点和极点完全决定了系统的频率响应（常数 C 和 D 不影响频响的本质特征）
• 其中原点处的零点或极点到单位圆的距离为 1，所以不影响幅度响应，但影响相位响应
• 当单位圆上的点转到某个极点附近时，因为该极点矢量达到最短，所以幅度响应在该 $\omega$ 处出现极大值（峰值）。极点越靠近单位圆，峰值就越尖锐
• 当极点处在单位圆上时，对应的 $\omega$ 的幅度响应为 $\infty$，这相当于在该频率处出现无耗谐振
• 当极点越出单位圆时，系统就处于不稳定状态，这是不希望出现的
• 当单位圆上的点转到某个零点附近时，因为该零点矢量达到最短，所以幅度响应在该 $\omega$ 处出现极小值（谷点）。零点越靠近单位圆，谷点就越尖锐
• 当零点处在单位圆上时，对应的 $\omega$ 的幅度响应为零
• 零点可超出单位圆外，对稳定性没有影响

广义线性相位系统

频率响应满足下式的系统，称为线性相位系统。

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \alpha},\quad-\pi<\omega<\pi$$

其中幅度 $\left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|$ 是一个非负的 $\omega$ 的实数函数，$\alpha$ 是实数，相位是 $\omega$ 的线性函数，即

$$\arg \left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]=-\omega \alpha,\quad-\pi<\omega<\pi$$

把线性相位系统的定义稍加推广，即广义线性相位系统的频率响应满足

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=A\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \alpha+\mathrm{j} \beta},\quad-\pi<\omega<\pi$$

其中广义幅度 $A\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 是 $\omega$ 的实数函数，取值可以大于等于或小于零；$\alpha$ 和 $\beta$ 是实数；广义相位是 $\omega$ 的线性函数加上常数项，即

$$\phi(\omega)=-\omega \alpha+\beta,\quad-\pi<\omega<\pi$$

线性相位系统和广义线性相位系统都具有常数群延迟特性，即

$$\operatorname{grd}\left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]=\alpha,\quad-\pi<\omega<\pi$$

所以线性相位系统和广义线性相位系统统称为常数群延迟系统。

广义线性相位系统的条件

广义线性相位系统的两个充分条件是：

$$\left\{\begin{array}{l} \beta=0 \text { 或 } \pi \\ 2 \alpha=M=\text { 整数 } \\ h[2 \alpha-n]=h[n] \end{array}\right. 和 \left\{\begin{array}{l} \beta=\pi / 2 \text { 或 } 3 \pi / 2 \\ 2 \alpha=M=\text { 整数 } \\ h[2 \alpha-n]=-h[n] \end{array}\right.$$

上面的条件可以简化成：

• 如果 $h[n]$ 相对于 $\alpha=M / 2$ 对称，则一定是广义线性相位系统。
• 如果 $h[n]$ 相对于 $\alpha=M / 2$ 反对称，则一定是广义线性相位系统。
• 两种情况下群延迟 $\alpha$ 都等于对称中心 $(M / 2)$
• 当 $M$ 是偶数时，对称中心是整数
• 当 $M$ 是奇数时，对称中心是整数加 $0.5$

因果广义线性相位 FIR 系统

分类

对于因果系统，单位脉冲响应 $h[n]=0$，$n<0$。如果要使因果系统满足广义线性相位条件，则

$$h[n]=\left\{\begin{array}{ll} \pm h[M-n],& 0 \leqslant n \leqslant M \\ 0,& \mathrm{其他} \end{array}\right.$$

所以因果广义线性相位系统是一个 FIR 系统，$h[n]$ 的长度是 $M+1$，对称中心是 $M / 2$。根据 $h[n]$ 的对称性和长度参数 $M$ 的奇偶性，我们将因果广义线性相位 FIR 系统分成 $4$ 类。

• 第 Ⅰ 类： $h[n]=h[M-n]$，$M$ 是偶数；
• 第 Ⅱ 类： $h[n]=h[M-n]$，$M$ 是奇数；
• 第 Ⅲ 类： $h[n]=-h[M-n]$，$M$ 是偶数；
• 第 Ⅳ 类： $h[n]=-h[M-n]$，$M$ 是奇数。

频率响应

第 Ⅰ 类和第 Ⅱ 类系统的频率响应

$$\begin{array}{c} H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2} \sum_{n=0}^{M} h[n] \cos \left[\left(\frac{M}{2}-n\right) \omega\right] \\ \phi(\omega)=-\omega M / 2 \end{array}$$

第 Ⅲ 和第 Ⅳ 类系统的频率响应为

$$\begin{array}{c} H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2+\mathrm{j} \pi / 2} \sum_{n=0}^{M} h[n] \cos \left[\left(\frac{M}{2}-n\right) \omega-\frac{\pi}{2}\right] \\ \phi(\omega)=-\omega M / 2+\pi / 2 \end{array}$$

零点特点

对于满足因果广义线性相位 FIR 系统，当复数零点 $z_{0}$ 不在单位圆上时，一定同时存在互为共轭倒数的 $4$ 个零点

$$z_{0},z_{0}^{*},1 / z_{0},1 / z_{0}^{*}$$

另外，$z= \pm 1$ 处是否有零点决定了广义线性相位 FIR 系统的应用场所，下面对 $4$ 种类型系统分别加以讨论。

• Ⅱ 类，一定有零点 $z=-1$
• Ⅲ 类，一定有零点 $z=1$ 和 $z=-1$
• Ⅳ 类，一定有零点 $z=1$

应用限制

	低通	高通	带通	带阻
第 Ⅰ 类	✅	✅	✅	✅
第 Ⅱ 类	✅	❌	✅	❌
第 Ⅲ 类	❌	❌	✅	❌
第 Ⅳ 类	❌	✅	✅	❌

第五章 连续时间信号的采样

总结

• 理想采样
  • $x[n]=x_{\mathrm{c}}(n T)$
  • $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_{\mathrm{c}}\left(\mathrm{j} \frac{\omega-k 2 \pi}{T}\right)$
• 理想重构

理想采样

通过周期采样得到的离散时间信号与原始连续时间信号之间满足如下关系

$$x[n]=\left.x_{\mathrm{c}}(t)\right|_{t=n T}=x_{\mathrm{c}}(n T),\quad-\infty<n<\infty$$

其中，

• $T$ 是采样周期。
• $f_{\mathrm{s}}=1 / T$ 是采样频率（简称采样率），单位是赫兹 $(\mathrm{Hz})$，表示每秒的采样点数。
• 采样率也可表示为 $\Omega_{\mathrm{s}}=2 \pi f_{\mathrm{s}}=2 \pi / T$，单位是 $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$。

对同一个连续时间信号采用不同的采样周期将得到不同的序列。下图给出了一段连续时间信号及理想采样后的离散时间信号的时域关系。能实现理想采样的系统称为理想连续时间到离散时间转换器。

为了推导和理解方便，从数学上将 $C/D$ 过程分解成两步表示（注意不是实际的实现过程）。其中 $s(t)$ 是由单位冲激函数组成的，即

$$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-n T)$$

用 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 调制 $s(t)$ 得到冲激串形式的连续时间信号为

$$\begin{aligned} x_{\mathrm{s}}(t) & =x_{\mathrm{c}}(t) s(t)=x_{\mathrm{c}}(t) \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-n T) \\ & =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_{\mathrm{c}}(t) \delta(t-n T) \end{aligned}$$

根据冲激函数的“筛选性质”得到

$$x_{\mathrm{s}}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_{c}(n T) \delta(t-n T)$$

利用连续时间信号的傅里叶级数可以得到 $s(t)$ 的傅里叶变换为

$$S(\mathrm{j} \Omega)=\frac{2 \pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\Omega-k \frac{2 \pi}{T}\right)$$

利用傅里叶变换的频域卷积性质，可以得到 $x_{\mathrm{s}}(t)$ 与 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 的傅里叶变换之间的关系为

$$\begin{aligned} X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j} \Omega) & =\frac{1}{2 \pi} X_{c}(\mathrm{j} \Omega) * S(\mathrm{j} \Omega) \\ & =\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_{\mathrm{c}}\left[\mathrm{j}\left(\Omega-k \frac{2 \pi}{T}\right)\right] \end{aligned}$$

由上式可见，$x_{\mathrm{s}}(t)$ 的傅里叶变换是 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 的傅里叶变换的周期性延拓 $($ 附加一个幅度尺度因子 $1 / T)$，延拓周期是 $2 \pi / T$，即采样率 $\Omega_{s}$。

第二步其实就是将由冲激串组成的连续时间信号 $x_{\mathrm{s}}(t)$ 看成离散时间信号 $x[n]$，即引入时间归一化，且其样本值为各冲激的强度。

$$x_{s}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t-n T)$$

两边做傅里叶变换可得

$$X_{s}(\mathrm{j} \Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t-n T) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{~d} t$$

交换积分及求和顺序得到

$$X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j} \Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-n T) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{~d} t=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega n T}=\left.X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|_{\omega,=\Omega T}$$

最后可得输出的离散时间信号 $x[n]$ 与输入的连续时间信号 $x_{\mathrm{e}}(t)$ 的傅里叶变换之间的关系为

$$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j} \Omega)\right|_{\Omega=\omega / T}=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_{\mathrm{c}}\left(\mathrm{j} \frac{\omega-k 2 \pi}{T}\right)$$

上式表示 $x[n]$ 的傅里叶变换就是 $x_{\mathrm{s}}(t)$ 的傅里叶变换的频率轴归一化，归一化公式是

$$\omega=\Omega T$$

其中，$\omega$ 是离散时间信号的数字频率，$\Omega$ 是连续时间信号的角频率，单位分别是 $\mathrm{rad}$ 和 $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$。归一化的结果是，采样频率 $\Omega_{\mathrm{s}}=2 \pi / T$ 被归一化成 $2 \pi$，$\Omega_{\mathrm{s}} / 2$ 被归一化成 $\pi$，即离散时间信号的最高频率。

注意：如果输入信号的最高频率 $\Omega_N$ 满足 $\Omega_s<2\Omega_N$，则会发生混叠

理想重构

能够将离散时间信号重构成带限连续时间信号的理想系统，称为理想离散时间到连续时间转换器。注意如果采样发生混叠，就无法无失真地恢复 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 的频谱。而对于没有混叠的情况，将 $x_{\mathrm{s}}(t)$ 通过一个具有如下频率响应的理想低通滤波器

$$H_{\mathrm{r}}(\mathrm{j} \Omega)=\left\{\begin{array}{ll} T,& |\Omega| \leqslant \Omega_{\mathrm{c}} \\ 0,& |\Omega|>\Omega_{\mathrm{c}} \end{array}\right.$$

其中 $\Omega_{N}<\Omega_{\mathrm{c}}<\Omega_{\mathrm{s}}-\Omega_{N}$，输出信号的傅里叶变换就和 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 的完全一样。都取 $\Omega_{\mathrm{c}}= \Omega_{\mathrm{s}} / 2=\pi / T$。称这个低通滤波器为理想重构滤波器。注意这是一个连续时间滤波器，它的输入是冲激串信号 $x_{\mathrm{s}}(t)$，输出 $x_{\mathrm{r}}(t)$ 的傅里叶变换表示成

$$X_{\mathrm{r}}(\mathrm{j} \Omega)=H_{\mathrm{r}}(\mathrm{j} \Omega) X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j} \Omega)=X_{\mathrm{c}}(\mathrm{j} \Omega)$$

同理可以将 $D/C$ 过程分解成两步表示（注意不是实际的实现过程）。

输入输出关系

$$x_{\mathrm{r}}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \frac{\sin [\pi(t-n T) / T]}{\pi(t-n T) / T}$$

重构信号是由无穷多连续时间信号叠加而成的。每个 $x_{\mathrm{n}}(t)$ 在对称中心 $n T$ 处等于序列的值 $x[n]$，在其他 $T$ 的整数倍处等于零，所以叠加以后的合成信号 $x_{\mathrm{r}}(t)$，在采样时刻点上等于采样值，在采样点之间的值是通过内插的方式得到的。由此可以得出结论：频域的理想低通滤波相当于时域的理想内插。当采样过程无混叠时，$x_{\mathrm{r}}(t)=x_{\mathrm{c}}(t)$。无论有无混叠，$x_{\mathrm{r}}(t)$ 都是带限信号，最高频率是 $\Omega_{\mathrm{c}}$，一般是采样率的一半。

采样定理

能够由离散时间信号无失真地重构原始连续时间信号是有条件的，这个条件由以下的奈奎斯特采样定理表述。

令 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 是一个带限信号，

$$X_{c}(\mathrm{j} \Omega)=0 \mathrm{,对于}|\Omega|>\Omega_{N}$$

那么 $x_{\mathrm{c}}(t)$ 能由它的样本 $x[n]=x_{\mathrm{c}}(n T)$，$n=0$，$\pm 1$，$\pm 2$，$\cdots$ 完全不失真重构的条件是

$$\Omega_{\mathrm{s}}=2 \pi / T \geqslant 2 \Omega_{N}$$

其中，

• $\Omega_{N}$ 是原始连续时间信号的最高频率，称为奈奎斯特频率
• $2 \Omega_{N}$ 称为奈奎斯特率
• $\Omega_{\mathrm{s}}>2 \Omega_{N}$ 时称为过采样
• $\Omega_{\mathrm{s}}<2 \Omega_{N}$ 时称为欠采样
• $\Omega_{\mathrm{s}}=2 \Omega_{N}$ 时称为临界采样

抗混叠

通常情况下，被采样的连续时间信号包含若干不同频率的余弦信号，当不满足采样定理时，重构信号的高频成分失真变成低频成分，并与原有的低频成分（未失真的）叠加在一起，从而使整个信号产生失真。如果是声音信号，则会听到噪声。采样定理的实质就是，采样周期要小到能对信号中最高频率的余弦信号的每个周期至少采样两个点，才能理想重构该频率成分，从而使整个信号无失真。
通常情况下，连续时间信号不是严格带限的，或者尽管带限但采样率低于信号最高频率的两倍。所以一般都在 $C/D$ 转换前加抗混叠的连续时间低通滤波器来避免混叠，其中抗混叠低通滤波器的截止频率应该选择为采样率的一半。
注意：这种抗混叠方法不是完美的解决方法，因为低通滤波器提前把高频部分过滤，从而使信号质量受损

连续时间信号的离散时间处理

由于数字信号处理比起模拟信号处理来，有诸多优点，所以我们常常希望用离散时间信号处理的方法来实现对连续时间信号的处理。连续时间信号的离散时间处理系统的框图如下图所示。如果其中的离散时间系统是一个离散时间滤波器，则整个系统等效为一个连续时间滤波器。

设输入信号带限，且采样周期 $T$ 满足采样定理，即 $X_{\mathrm{c}}(\mathrm{j} \Omega)=0$，$|\Omega|>\pi / T$，离散时间系统是一个频响为 $H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 的 LTI 系统；$H_{\mathrm{eff}}(j \Omega)$ 是整个等效的连续时间系统的频率响应。

$$H_{\mathrm{eff}}(\mathrm{j} \Omega)=\left\{\begin{array}{ll} \left.H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|_{\omega=\Omega T},& |\Omega| \leqslant \pi / T \\ 0,& |\Omega|>\pi / T \end{array}\right.$$

等效连续时间系统截止频率

$$\begin{array}{c} \Omega_c =\frac{\omega_c}{T}\\ f_c=\frac{\Omega_c}{2\pi} \end{array}$$

可见，等效的连续时间系统也是一个 LTI 系统，其频率响应由上式给出，等于离散时间系统频率响应的主周期。

注意，得出上述结论需要满足两个条件：离散时间系统是线性时不变的；输入信号带限且无混叠或混叠发生在离散时间系统的通带以外。

离散时间信号的连续时间处理

离散时间信号的连续时间处理系统框图如下图所示，整个系统等效于一个离散时间系统。

由于理想 $\mathrm{D} / \mathrm{C}$ 转换后，$X_{\mathrm{c}}(\mathrm{j} \Omega)$ 的最高频率是 $\pi / T$，所以整个系统中不存在混叠问题。写出图所以等效的离散时间系统的频率响应与连续时间系统的频率响应间的关系是

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H_{\mathrm{c}}(\mathrm{j} \Omega)\right|_{\Omega=\omega / T},\quad|\omega|<\pi$$

*模拟信号的数字处理

前面讨论连续时间信号的采样和重构时都只考虑了理想的情况，即被采样的连续时间信号是带限的，采样后的信号用无限精度的序列表示，重构时可以实现理想内插。

在实际的采样系统中，连续时间信号不可能真正带限，理想滤波不可能实现，采样数据也只能用有限字长的数表示，所以理想的 C/D 和 D/C 转换是用模拟到数字（A/D）和数字到模拟（D/A）的转换器来近似实现的

抗混叠滤波

数字系统在处理数据时所需的运算量与存储数据所需的空间正比于采样的数据量，而采样的数据量又正比于采样率，所以在实际应用中往往根据需要选择尽可能低的采样率以减小数据量。比如对于语音信号的可懂度来说，3～4kHz带宽就可以了，而对于音乐信号的保真度来说则要求20kHz带宽，所以两者的采样率可以分别选取8kHz和44.1kHz。然而，通常的情况往往是输入的模拟信号不带限，或者带宽太宽，或者尽管信号的带宽满足要求，但宽带加性噪声含有高于奈奎斯特频率的成分，为了避免混叠的发生，需要在采样之前用一个模拟低通滤波器来实现抗混叠滤波，其截止频率应该是已经选定的采样率的一半。

理想情况下抗混叠低通滤波器的频响在上面给出。但是，它不可能理想带限，锐截止的抗混叠低通滤波器在廉价的数字处理器应用中占的成本太高，实现起来十分困难和昂贵。并且，锐截止的模拟滤波器一般都有很严重的非线性相位问题。解决这个问题的一条途径是：采用一个性能和成本低的抗混叠低通滤波器，以及采样率比选定值高很多的过采样，将模拟信号转换成数字信号，最后在数字域进行降采样

采样保持

A/D 转换器每 $T$ 秒启动和完成一次模拟到数字的转换，转换不是瞬时的，需要一定的时间，所以采样的数据需要在 $T$ 秒内保持不变。采样保持器就是兼具尽可能瞬时采样和使样本在一个采样周期尽可能保持不变两个功能的器件。理想情况下，采样保持器的输入/输出信号间的关系可以用公式表示成

$$\begin{aligned} x_{0}(t) & =\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{c}(n T) \delta(t-n T)\right] * h_{0}(t) \\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{c}(n T) h_{0}(t-n T) \end{aligned}$$

其中 $h_{0}(t)$ 是一个称为零阶保持系统的单位脉冲响应，表达式如下

$$h_{0}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1,& 0<t<T \\ 0,& \mathrm{其他} \end{array}\right.$$

上式说明，理想采样保持等效于冲激串调制再级联一个零阶保持滤波处理。

（Todo，上面的不考）

改变采样率

采样率按整数因子降低

实现采样率按整数因子 $M$ 降低的离散时间系统如上图所示。其中第 2 个功能模块表示离散时间域的亚采样，即抽选，其输出与输入信号间的关系是

$$\hat{x}_{\mathrm{d}}[n]=\hat{x}[n M]$$

即只保留序号为 $M$ 的整数倍的样本值，数据量减小为 $1 / M$，采样率也降低为原始采样率的 $1 / M$，采样周期从 $T$ 增加到 $T’=MT$

$$\hat{X}_{\mathrm{d}}\left(e^{\mathrm{j} \omega}\right)=\frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} \hat{X}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega-2 \pi \mathrm{i}) / M}\right)$$

可以看出，抽选后信号的傅里叶变换仍然以 $2 \pi$ 为周期，对每个周期而言，信号的频率变成抽选前的 $M$ 倍，幅度降低为 $1 / M$（抽选相当于在每个周期，横坐标变为原来的 $M$ 倍，再叠加起来）

当采样率降低后，由于可能不再满足采样定理而导致频域混叠，所以有必要在抽选之前加一个抗混叠的离散时间低通滤波器。为了保证信号的最高频率在增大为 $M$ 倍后无混叠发生，$\hat{x}[n]$ 的最高频率应该低于 $\pi / M$。这也就意味着，抗混叠离散时间滤波器是截止频率为 $\pi / M$，增益为 $1$ 的低通滤波器。

采样率按整数因子升高

实现采样率按整数因子 $L$ 升高的离散时间系统如上图所示。其中第 1 个功能模块表示离散时间域的内插，其输出与输入信号间的关系是

$$\begin{aligned} x_{\mathrm{e}}[n] & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k L] \\ & =\left\{\begin{array}{l} x[n / L],n=0,\pm L,\pm 2 L,\cdots \\ 0,\mathrm{其他} \end{array}\right. \end{aligned}$$

即每两个点之间插入 $L-1$ 个零值点，数据量增加为 $L$ 倍，采样率也升高为原始采样率的 $L$ 倍。采样周期从 $T$ 减小到 $T^{\prime}=T / L$。

$x_{\mathrm{e}}[n]$ 和 $x[n]$ 的傅里叶变换之间的关系

$$X_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{\mathrm{e}}[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}=\sum_{n=L \mathrm{前整数倍}} x[n / L] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$$

令 $n=L m$ 上式成为

$$X_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega L m}=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega L}\right)$$

在主周期内，信号的最高频率从 $\pi$ 缩小到 $\pi / L$，同时还在 $\pi / L \leqslant \omega \leqslant \pi$ 区间出现了 $(L-1)$ 个复本，称为镜像频谱。（内插相当于在所有周期一起，横坐标变为原来的 $1/L$）

所以内插之后的反镜像离散时间滤波器是用来消除高频镜像频谱的，其截止频率是 $\pi / L$，增益是 $L$，即

$$H_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} L,& |\omega| \leqslant \pi / L \\ 0,& \pi / L<|\omega|<\pi \end{array}\right.$$

最终输出信号的时域表达式为

$$x_{\mathrm{i}}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \frac{\sin \left(\frac{\pi(n-k L)}{L}\right)}{\frac{\pi(n-k L)}{L}}$$

可见升采样系统的最终输出信号是原始信号的理想内插。

采样率按非整数因子变化

实现采样率按非整数因子变化的离散时间系统如下图所示。该系统是升采样系统与降采样系统的级联，其中的反镜像滤波器和抗混叠滤波器用一个等效的低通滤波器实现，其截止频率取 $\min\{\pi/L,\pi/M\}$，增益为 $L$。

第六章 离散傅里叶变换（DFT）

DFT 与 IDFT 的定义

考虑有 $N$ 个样本的有限长因果序列 $x[n]$，在 $0 \leqslant n \leqslant N-1$ 之外 $x[n]=0$，其傅里叶变换是

$$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$$

为了将 $\omega$ 离散化，在 $0 \leqslant \omega<2 \pi$ 区间从 $\omega=0$ 开始等间隔地取 $N$ 个频率 $\omega_{k}=2 \pi k / N,k=0,1,\cdots,N-1$，将这些频率代入得到

$$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{k}}\right)=\left.X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|_{\omega=\frac{2 \pi}{N} k}=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \mathrm{e}^{-\frac{2 \pi}{N} k n},\quad k=0,1,\cdots,N-1$$

采用符号 $X[k]=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{k}}\right)$ 和 $W_{N}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(2 \pi / N)}$，上式成为

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{k n},\quad k=0,1,\cdots,N-1$$

我们将上式定义成有限长序列的 N 点离散傅里叶变换（DFT）。因此，我们也可以说，有限长序列的 DFT 是序列的傅里叶变换在 $0 \leqslant \omega<2 \pi$ 内的等间隔取样，即

$$X[k]=\left.X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|_{\omega=\frac{2 \pi}{N} k},\quad k=0,1,\cdots,N-1$$

上式定义的 DFT 的特点是求和项数等于信号长度，也等于频域取样点数。

$$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] W_{N}^{-k n},\quad n=0,1,\cdots,N-1$$

上式是离散傅里叶反变换（IDFT）。上述定义中，

• 在区间 $0 \leqslant k \leqslant N-1$ 之外，$X[k]=0$
• 在区间 $0 \leqslant n \leqslant N-1$ 之外，$x[n]=0$。

注意上面只给出了 $[0,N-1]$ 范围内 DFT 的定义，实际上 DFT 的完整定义是周期的。

$$X[k]=X[k+rN]$$

DFT 与 DFS 的关系

下式表示将长度为 $M$ 的序列 $x[n]$ 以 $N$ 为周期延拓成周期序列 $\tilde{x}[n]$

$$\tilde{x}[n]=\sum_{r=-\infty}^{\infty} x[n-r N]$$

• 当 $N<M$ 时，$x[n-r N]$ 各项之间将产生重叠，称为时域混叠
• 当 $N>M$ 时，我们认为 $x[n]$ 的最后 $(N-M)$ 个样本值为 $0$。
• 所以对于 $N \ge M$ 的情况，$\tilde{x}[n]$ 是 $x[n]$ 没有混叠的周期性延拓，这时上式可以简写成 $$\tilde{x}[n]=x[n \bmod N]=x\left[((n))_{N}\right]$$

考虑长度为 N 的有限长序列 $x[n]$，以 N 为周期延拓成周期序列 $\tilde{x}[n]$，则有限长序列的 DFT 就是取与之对应的周期序列的 DFS 的主周期，即

$$X[k]=\tilde{X}[k] R_{N}[k]$$

反过来

$$\tilde{X}[k]=X[k \bmod N]=X\left[((k))_{N}\right]$$

对于反变换，IDFT 就是取 IDFS 的主周期，即

$$x[n]=\tilde{x}[n] R_{N}[n]$$

反过来

$$\tilde{x}[n]=x\left[((n))_{N}\right]$$

频域取样

设序列 $x[n]$ 长度为 $M$（$M$ 可以是无穷大），已知其 $N$ 点频域取样为

$$\left.X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|_{\omega=\frac{2 \pi}{N} k},k=0,1,\cdots,N-1,$$

对其做 $N$ 点 IDFT 重构，得到有限长时域信号为 $x^{\prime}[n]$

$$x^{\prime}[n]=\tilde{x}[n] R_{N}[n]=\left(\sum_{r=-\infty}^{\infty} x[n-r N]\right) R_{N}[n]$$

• 当 $N=M$ 时 $$x^{\prime}[n]=x[n]$$
• 当 $N>M$ 时 $$x^{\prime}[n]=\left\{\begin{array}{ll} x[n],& n=0,1,\cdots,M-1 \\ 0,& n=M,\cdots,N-1 \end{array}\right.$$
• 当 $N<M$ 时，$x[n-r N]$ 各项之间产生重叠，无法无失真地重构原始有限长或无限长序列 $x[n]$。

频域取样定理：只有当序列长度有限，并且频域取样点数大于或等于序列的长度时，才能够由频域取样无失真地重构原始时域信号，也才能够通过理想内插由频域取样得到无失真的连续的傅里叶变换函数。

于是反过来，如果对长度为 $M$ 的序列 $x[n]$ 进行补 0 操作，补到长度为 $N$，再进行 DFT 变换，那么得到的 $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 就满足

$$\left.X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|_{\omega=\frac{2 \pi}{N} k},k=0,1,\cdots,N-1,$$

也就是说，DFT 等价于傅里叶变换上取点，那么如果取的点够多，就可以看成对傅里叶变换的一种近似。

DFT 的性质

线性性质

$$a x[n]+b y[n] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} a X[k]+b Y[k]$$

循环移位性质

定义序列 $x[n]$ 在区间 $0 \leqslant n \leqslant N-1$ 上以 $N$ 为模的循环移位为

$$x_{1}[n]=x\left[((n-m))_{N}\right] R_{N}[n]$$

其中 $m$ 为整数。
DFT 的时域循环移位和频域循环移位性质分别是

$$\begin{array}{l} x\left[((n-m))_{N}\right] R_{N}[n] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} W_{N}^{k m} X[k] \\ W_{N}^{-n l} x[n] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} X\left[((k-l))_{N}\right] R_{N}[k] \end{array}$$

反转性质

长度为 $N$ 的序列 $x_2[n]=x_{1}[N-1-n]$

$$X_2[k] = X_{1}^{*}[k]W_{N}^{k(N-1)}$$

对偶性质

$$X[k] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} N x\left[((-n))_{N}\right] R_{N}[n]$$ $$X^{*}[k] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} N x^{*}\left[n\right] R_{N}[n]$$

对称性质

对于周期为 $N$ 的序列 $x[n]$，周期共轭对称是指：

$$\begin{array}{c} x[1]=x^{*}[N-1]\\ x[2]=x^{*}[N-2]\\ \cdots\\ \end{array}$$

若 $N$ 是偶数，则 $x[0]$ 和 $x[N/2]$ 没有列入比较；若 $N$ 是奇数，则 $x[0]$ 没有列入比较

$$\begin{array}{l} x^{*}[n] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} X^{*}\left[((-k))_{N}\right] R_{N}[k]=X^{*}[N-k] \\ x^{*}\left[((-n))_{N}\right] R_{N}[n]=x^{*}[N-n] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} X^{*}[k] \end{array}$$ $$\begin{array}{l} \operatorname{Re}\{x[n]\}=\frac{1}{2}\left(x[n]+x^{*}[n]\right) \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} X_{\mathrm{ep}}[k]=\frac{1}{2}\left(X[k]+X^{*}[N-k]\right) \\ \mathrm{j} \operatorname{Im}\{x[n]\}=\frac{1}{2}\left(x[n]-x^{*}[n]\right) \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} X_{\mathrm{op}}[k]=\frac{1}{2}\left(X[k]-X^{*}[N-k]\right) \\ x_{\mathrm{ep}}[n]=\frac{1}{2}\left(x[n]+x^{*}[N-n]\right) \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} \operatorname{Re}\{X[k]\}=\frac{1}{2}\left(X[k]+X^{*}[k]\right) \\ x_{\mathrm{op}}[n]=\frac{1}{2}\left(x[n]-x^{*}[N-n]\right) \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} \mathrm{j} \operatorname{Im}\{X[k]\}=\frac{1}{2}\left(X[k]-X^{*}[k]\right) \end{array}$$

其中 $x_{\mathrm{ep}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{op}}[n]$ 是两个长度为 $N$ 的有限长序列，分别称为 $x[n]$ 的周期共轭对称分量和周期共轭反对称分量。容易证明它们分别满足

$$\begin{aligned} x_{\mathrm{ep}}[n]=x_{\mathrm{ep}}^{*}[N-n] & =x_{\mathrm{ep}}^{*}\left[((-n))_{N}\right] R_{N}[n] \\ x_{\mathrm{op}}[n]=-x_{\mathrm{op}}^{*}[N-n] & =-x_{\mathrm{op}}^{*}\left[((-n))_{N}\right] R_{N}[n] \end{aligned}$$

上式表明，将 $x_{\mathrm{ep}}[n]$ 和 $x_{\mathrm{op}}[n]$ 周期延拓分别得到共轭对称和共轭反对称的周期序列。

此外，实序列的 DFT 是周期共辄对称序列，如果不考虑 $X[0]$ 这一点，

• $\operatorname{Re}{X[k]}$ 相对于 $N / 2$ 对称，
• $\operatorname{Im}{X[k]}$ 相对于 $N / 2$ 反对称，
• $|X[k]|$ 相对于 $N / 2$ 对称，
• $\Varangle X[k]$ 相对于 $N / 2$ 反对称。

用式子表达：

$$\begin{array}{c} \operatorname{Re}\{X[k]\}=\operatorname{Re}\{X[N-k]\} \\ \operatorname{Im}\{X[k]\}=-\operatorname{Im}\{X[N-k]\} \\ |X[k]|=|X[N-k]| \\ \Varangle X[k]=-\Varangle X[N-k] \end{array}$$

帕斯瓦尔定理

$$\sum_{n=0}^{N-1} x[n] y^{*}[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] Y^{*}[k]$$

当 $x[n]=y[n]$ 时，上式成为

$$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}$$

循环卷积性质

由于线性卷积序列的长度大于原序列长度，超过了 $[0,N-1]$ 区间，所以在 DFT 的性质中，线性卷积性质被循环卷积性质所代替。我们定义两个长度为 $N$ 的序列的 $N$ 点循环卷积为

$$\begin{aligned} x[n] \circledN y[n] & =\left(x\left[((n))_{N}\right] \circledast y\left[((n))_{N}\right]\right) R_{N}[n] \\ & =\left(\sum_{m=0}^{N-1} x[m] y\left[((n-m))_{N}\right]\right) R_{N}[n] \end{aligned}$$

可以看出 $N$ 点循环卷积的结果也是长度为 $N$ 的序列，并且循环卷积满足交换律

$$x[n] \circledN y[n]=y[n] \circledN x[n]$$

DFT 的时域循环卷积和频域循环卷积性质分别是

$$\begin{array}{c} x[n] \circledN y[n] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} X[k] Y[k] \\ x[n] y[n] \stackrel{\mathrm{DFT}}{\longrightarrow} \frac{1}{N} X[k]\circledN Y[k] \end{array}$$

频域降采样（二级结论）

设长度为 $N$ 的序列 $x[n]$ 的 N 点 DFT 是 $X[k]$，令 $Y[k]=X[pk]$，则

$$y[n]=\sum_{r=0}^{p-1}x[n+\frac{N}{p}r], \quad 0\le n \le \frac{N}{p}-1$$

时域补0（二级结论）

设长度为 $N$ 的序列 $x[n]$ 的 N 点 DFT 是 $X[k]$，$y[n]$ 是 $x[n]$ 后面再加了 N 个 0，则 $Y[k]$ 频域取样更密，即理想内插，满足

$$Y[2k]=X[k]$$

时域插0（二级结论）

设长度为 $N$ 的序列 $x[n]$ 的 N 点 DFT 是 $X[k]$，$y[n]$ 是 $x[n]$ 内插 0，即

$$y[n]=\left\{\begin{array}{l} x[n/2], n=0, 2,\cdots, 2 N-2 \\ 0, n=1, 3,\cdots, 2 N-1 \end{array}\right.$$

则 $Y[k]$ 是 $X[k]$ 后面再加了 $X[k]$，即

$$Y[k]=\left\{\begin{array}{l} X[k], n=0, \ldots, N-1 \\ X[k-N], n=N, \ldots, 2 N-1 \end{array}\right.$$

时域复制（二级结论）

设长度为 $N$ 的序列 $x[n]$ 的 N 点 DFT 是 $X[k]$，$y[n]$ 是 $x[n]$ 后面再加了 $xx[n]$，即

$$y[n]=\left\{\begin{array}{l} x[n], n=0, \ldots, N-1 \\ x[n-N], n=N, \ldots, 2 N-1 \end{array}\right.$$

则 $Y[k]$ 是 $X[k]$ 的零值内插的 2 倍，即

$$Y[2k]=2X[k]$$

用循环卷积实现线性卷积

考虑一个 $L$ 点的序列 $x[n]$，$n=0,1,\cdots L-1$，和另一个 $P$ 点的序列 $h[n]$，$n=0,1,\cdots,P-1$，它们的线性卷积为

$$y[n]=x[n] * h[n]$$

对上式两边做 $N$ 点 IDFT，整理后得到

$$\sum_{r=-\infty}^{\infty} y[n-r N] R_{N}[n]=x[n] \circledN h[n]$$

因此，$N$ 点循环卷积等于线性卷积以 $N$ 为周期延拓后取主周期。当循环卷积的点数 $N$ 大于等于线性卷积的长度 $(L+P-1)$ 时，循环卷积等于线性卷积；否则，循环卷积是线性卷积的混叠。

短时傅里叶变换

定义信号 $x[n]$ 的短时傅里叶变换为

$$X[n,\omega)=\sum_{m=0}^{M} x[n+m] w[m] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega m}$$

其中 $w[n]$ 在 $0 \leqslant n \leqslant M$ 以外为零，是一个有限长的窗序列。常用的窗序列定义如下：

• 矩形窗： $$w[n]=\left\{\begin{array}{ll} 1,& 0 \leqslant n \leqslant M \\ 0,& \mathrm{其他} \end{array}\right.$$
• 巴特利特窗（三角形窗）： $$w[n]=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2 n}{M},& 0 \leqslant n \leqslant \frac{M}{2} \\ 2-\frac{2 n}{M},& \frac{M}{2} \leqslant n \leqslant M \\ 0,& \mathrm{其他} \end{array}\right.$$
• 汉宁窗： $$w[n]=\left\{\begin{array}{ll} 0.5-0.5 \cos \left(\frac{2 \pi n}{M}\right),& 0 \leqslant n \leqslant M \\ 0,& \mathrm{其他} \end{array}\right.$$
• 海明窗： $$w[n]=\left\{\begin{array}{ll} 0.54-0.46 \cos \left(\frac{2 \pi n}{M}\right),& 0 \leqslant n \leqslant M \\ 0,& \mathrm{其他} \end{array}\right.$$
• 布莱克曼窗： $$w[n]=\left\{\begin{array}{l} 0.42-0.5 \cos \left(\frac{2 \pi n}{M}\right)+0.08 \cos \left(\frac{4 \pi n}{M}\right),\quad 0 \leqslant n \leqslant M \\ 0, \end{array}\right.$$

（Todo：前两年都没考）

第七章 快速傅里叶变换（FFT）

使用 DFT 定义计算的运算量

基2 FFT 算法的基本思想是，将序列 $x[n]$ 根据序号 $n$ 的奇偶逐次分解成较短的子序列，适用于 DFT 点数 $N$ 为 $2$ 的整数次幂，即 $N=2^{v}$ 的情况。如果 $N$ 不满足这一条件，则可以采用对序列补零的方式使 $N$ 满足该要求。

对于一个 N 点的 DFT，根据定义式，

• 计算每一个 $X[k]$ 需要 $N$ 次复数乘法和 $(N-1)$ 次复数加法
• 计算全部 $N$ 个 $X[k]$ 总共需要 $N^2$ 次复数乘法和 $N(N-1)$ 次复数加法。
• 一次复数乘法一般需要 $4$ 次实数乘法和 $2$ 次实数加法
• 一次复数加法需要 $2$ 次实数加法
• 计算全部 $X[k]$ 需要 $4N^2$ 次实数乘法和 $N(4N-2)$ 次实数加法。
• 由于运算次数大致正比于 $N^2$，当 $N$ 很大时，运算量非常大。

时域抽选基2 FFT算法

单次分解

根据 DFT 的定义式

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{k n}, \quad 0 \leq k \leq N-1$$

令

$$\begin{array}{ll} g[n]=x[2 n], & 0 \leq n \leq N / 2-1 \\ h[n]=x[2 n+1], & 0 \leq n \leq N / 2-1 \end{array}$$

且

$$\begin{array}{ll} G[k] =\sum_{n=0}^{N / 2-1} g[n] W_{N / 2}^{k n}, & 0 \leq k \leq N / 2-1 \\ H[k] =\sum_{n=0}^{N / 2-1} h[n] W_{N / 2}^{k n}, & 0 \leq k \leq N / 2-1 \end{array}$$

则

$$\begin{array}{ll} X[k]=G[k]+W_{N}^{k} H[k], & 0 \leq k \leq N / 2-1 \\ X\left[k+\frac{N}{2}\right]=G[k]-W_{N}^{k} H[k], & 0 \leq k \leq N / 2-1 \end{array}$$

8点FFT完整信号流图

4点FFT完整信号流图

DIT-FFT 基本蝶形运算

$$\begin{array}{c} x_m[p]=x_{m-1}[p]+W_N^r x_{m-1}[q]\\ x_m[p]=x_{m-1}[p]-W_N^r x_{m-1}[q]\\ \end{array}$$

蝶形运算与FFT计算量

• 对于 $N=2^{\nu}$，最多可以分解 $\nu=\log _{2} N$ 次，即流图有 $\log _{2} N$ 级。
• 每级有 $N / 2$ 个蝶形运算。
• 每个蝶形运算需要 $1$ 次复数乘法和 $2$ 次复数加法。
• 所以 $N$ 点 FFT 总共需要复数乘法和复数加法的次数分别是 $\left(\frac{N}{2} \log _{2} N\right)$ 和 $\left(N \log _{2} N\right)$。
• 通过与本章开始给出的直接计算的复数乘法和加法次数的比较可以看出，随着 $N$ 的增大，FFT 的优越性越来越明显。

其他形式

频域抽选基2 FFT算法

单次分解

根据 DFT 的定义式

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{k n}, \quad 0 \leq k \leq N-1$$

令

$$\begin{array}{l} g[n]=x[n]+x\left[n+\frac{N}{2}\right], n=0, \ldots N / 2-1 \\ h[n]=\left(x[n]-x\left[n+\frac{N}{2}\right]\right) W_{N}^{n}, n=0, \ldots N / 2-1 \end{array}$$

则

$$\begin{array}{ll} X[2 r]=G[r]=\sum_{n=0}^{N / 2-1} g[n] W_{N / 2}^{r n}, & 0 \leq r \leq \frac{N}{2}-1 \\ X[2 r+1]=H[r]=\sum_{n=0}^{N / 2-1} h[n] W_{N / 2}^{r n}, & 0 \leq r \leq \frac{N}{2}-1 \end{array}$$

8点FFT完整信号流图

4点FFT完整信号流图

DIF-FFT 基本蝶形运算

$$\begin{array}{c} x_m[p]=x_{m-1}[p]+x_{m-1}[q]\\ x_m[p]=\left(x_{m-1}[p]-x_{m-1}[q]\right)W_N^r\\ \end{array}$$

其他形式

DFT 与硬件实现

同址计算

要计算第 $m$ 列在 $p$ 和 $q$ 位置上的复数节点的值，只需要第 $(m-1)$ 列在 $p$ 和 $q$ 位置上的复数节点的值。因此，若将 $X_{m}[p]$ 和 $X_{m}[q]$ 分别存放在原存放 $X_{m-1}[p]$ 和 $X_{m-1}[q]$ 的同一存储器中，则实现全部的计算只需要一列存储 $N$ 个复数的存储器。我们称这种数据的存储方式为同址计算。

倒位序排列

为了实现同址计算，FFT 的输入和输出必须有一个是顺序、一个是倒位序。倒位序就是把二进制的进位和+1操作倒过来，从最高位开始。

例如 0~7 的倒位序排列是：

0,4,2,6,1,5,3,7

实序列的 DFT

首先考虑两个 $N$ 点的实序列 $x_{1}[n]$ 和 $x_{2}[n]$，要求计算它们的 $N$ 点 DFT，即 $X_{1}[k]$ 和 $X_{2}[k]$。我们可以将两个实序列合成一个 $N$ 点的复数序列，计算该复数序列的一次 $N$ 点 DFT，然后利用 DFT 的性质构造出两个实序列的 DFT。具体步骤如下：

1. 构造一个 $N$ 点的复数序列 $y[n]=x_{1}[n]+\mathrm{j} x_{2}[n],n=0,1,\cdots,N-1$
2. 利用 $N$ 点 FFT 算法计算 $y[n]$ 的 $N$ 点 DFT $Y[k],k=0,1,\cdots,N-1$
3. 从 $Y[k]$ 得出实序列的 DFT $$\begin{array}{ll} X_{\mathrm{I}}[k]=\frac{Y[k]+Y^{*}[N-k]}{2},\quad k=0,1,\cdots,N-1 \\ X_{2}[k]=\frac{Y[k]-Y^{*}[N-k]}{2 \mathrm{j}},\quad k=0,1,\cdots,N-1 \end{array}$$

下面考虑只有一个 $N$ 点实序列 $x[n]$ 的情况。我们首先将 $x[n]$ 拆成两个 $N / 2$ 点的实序列，然后应用上面的方案。需要考虑的是这两个 $N / 2$ 点的实序列的 DFT 应该能合成原 $N$ 点实序列的 DFT，根据 DIT-FFT 第 1 次分解的原理，将 $x[n]$ 按照序号的奇偶拆就能满足这一要求。所以具体实现步骤是：

1. 将 $x[n]$ 拆成两个实序列 $$\begin{array}{c} x_{1}[n]=x[2 n],n=0,\cdots,N / 2-1 \\ x_{2}[n]=x[2 n+1],n=0,\cdots,N / 2-1 \end{array}$$
2. 令 $$y[n]=x_{1}[n]+\mathrm{j} x_{2}[n], n=0,\cdots,N / 2-1$$
3. 利用 $N / 2$ 点 FFT 算法计算 $y[n]$ 的 $N / 2$ 点 DFT $$Y[k],k=0,1,\cdots,N / 2-1$$
4. $$\begin{array}{c} X_{1}[k]=\frac{Y[k]+Y^{*}[N / 2-k]}{2},\quad k=0,1,\cdots,N / 2-1\\ X_{2}[k]=\frac{Y[k]-Y^{*}[N / 2-k]}{2 \mathrm{j}},\quad k=0,1,\cdots,N / 2-1 \end{array}$$
5. 利用蝶形算法组合出 $X[k]$，即 $$\begin{array}{c} X[k]=X_{1}[k]+W_{N}^{k} X_{2}[k],\quad k=0,1,\cdots,N / 2-1 \\ X[k+N / 2]=X_{1}[k]-W_{N}^{k} X_{2}[k],\quad k=0,1,\cdots,N / 2-1 \end{array}$$

IDFT 快速算法

方法一

利用 FFT 算法，增加一些预处理和后处理。因为

$$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] W_{N}^{-k n}=\frac{1}{N}\left[\sum_{k=0}^{N-1} X^{*}[k] W_{N}^{k n}\right]^{*}$$

所以实现步骤是：

• 将 $X[k]$ 取共轭
• 计算 $N$ 点 FFT
• 对结果再取共轭，并除以 $N$

方法二

也是利用 FFT 算法。根据 DFT 的对偶性质有

$$\sum_{k=0}^{N-1} X[k] W_{N}^{k n}=N x\left[((-n))_{N}\right] R_{N}[n]=N x[N-n]$$

所以计算步骤是：

• 对 $X[k]$ 计算 $N$ 点 FFT
• 将结果相对 $n=N / 2$ 反转（$x[0]$ 保持不变），再除以 $N$

第八章 离散时间滤波器的设计

背景

• 从广义上讲，任何能对信号的频率进行修正的系统都称为滤波器
• 本章及第 9 章只讨论因果稳定的选频滤波器的设计与实现
• 实际应用中，由于离散时间滤波器往往通过数字计算的方法来实现，并且用于对数字信号的滤波，所以人们往往将离散时间滤波器称为数字滤波器
• 理想选频滤波器是非因果的 IIR 系统，没有有理形式的系统函数，即无法用有限的计算实现
• 理想选频滤波器不是因果可实现的系统
• 反过来讲，因果可实现的滤波器的频率响应不可能满足理想选频特性

技术指标

• 离散时间滤波器的技术指标大多是在频域给出的
• $\left[0,\omega_{\mathrm{p}}\right]$ 的频率区间内，幅度逼近 $1$，但允许有 $\pm \delta_{\mathrm{p}}$ 的波动，称之为通带
• $\left[\omega_{\mathrm{p}},\omega_{\mathrm{s}}\right]$ 的频率区间内，幅度单调下降，称之为过渡带
• $\left[\omega_{\mathrm{s}},\pi\right]$ 的频率区间内，幅度逼近 $0$，误差不大于 $\delta_{\mathrm{s}}$，称之为阻带
• $\omega_{\mathrm{p}}$ 称为通带截止频率，$\omega_{\mathrm{s}}$ 称为阻带截止频率，均以 $\mathrm{rad}$ 为单位。
• $\delta_{\mathrm{p}}$ 称为通带容差，$\delta_{\mathrm{s}}$ 称为阻带容差。
• $1+\delta_{\mathrm{p}}$ 和 $1-\delta_{\mathrm{p}}$ 分别是通带最大和最小幅度（增益），$\delta_{\mathrm{s}}$ 是阻带最大幅度（增益）
• 增益还可以采用对数增益（单位：$\mathrm{dB}$）表示，理想的通带增益是 $0 \mathrm{~dB}$，最大通带增益是 $20 \lg \left(1+\delta_{\mathrm{p}}\right) \mathrm{dB}$，最小通带增益是 $20 \lg \left(1-\delta_{\mathrm{p}}\right) \mathrm{dB}$，最大阻带增益是 $20 \lg \delta_{\mathrm{s}} \mathrm{dB}$
• 另外，也常用通带最大衰减 $\alpha_{\mathrm{p}}=-20 \lg \left(1-\delta_{\mathrm{p}}\right) \mathrm{dB}$ 和阻带最小衰减 $\alpha_{\mathrm{s}}=-20 \lg \delta_{s}$ 来表述通带和阻带误差
• 有些时候，容限图给出的通带最高幅度是 $1$，即最大增益是 $0 \mathrm{~dB}$。
• 幅度 $1 / \sqrt{2}$ 对应的频率称为 $3 \mathrm{~dB}$ 截止频率，用 $\omega_{\mathrm{c}}$ 表示，$20 \lg \sqrt{1 / 2}=-3(\mathrm{~dB})$。
• 因为 $\left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{\mathrm{c}}}\right)\right|^{2}=1 / 2$，所以 $\omega_{\mathrm{c}}$ 又称半功率截止频率。
• 对于带通和带阻滤波器的技术指标，通带截止频率分上通带截止频率和下通带截止频率，阻带截止频率分上阻带截止频率和下阻带截止频率
• 对于低通滤波器，假设给出等效连续时间滤波器的通带截止频率 $\Omega_{\mathrm{p}}$ 和阻带截止频率 $\Omega_{\mathrm{s}}$，单位是 $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$，则离散时间滤波器的截止频率是 $$\begin{array}{l} \omega_{\mathrm{p}}=\Omega_{\mathrm{p}} T \\ \omega_{\mathrm{s}}=\Omega_{\mathrm{s}} T \end{array}$$

离散时间滤波器的设计方法

• 首先设计一个连续时间滤波器（称为原型连续时间滤波器），得到系统函数 $H_{c}(s)$
• 将 $H_{c}(s)$ 转换成离散时间滤波器的系统函数 $H(z)$。
• 原型连续时间滤波器的技术指标是通过对给定的离散时间滤波器的技术指标加以变换得到的。
• 本节只讨论连续时间滤波器设计法的第二步即系统函数的转换。
• $H_{c}(s)$ 到 $H(z)$ 的转换过程实际上是 $s$ 平面到 $z$ 平面的映射过程，该映射需要满足两个要求
  • 一是所得到的离散时间滤波器的频率响应保持连续时间滤波器频率响应的基本特征，即 $s$ 平面的虚轴映射到 $z$ 平面的单位圆，且离散时间滤波器与连续时间滤波器的选频特性保持一致
  • 二是将一个因果稳定的连续时间滤波器转换成一个因果稳定的离散时间滤波器，即将 $H_{c}(s)$ 在 $s$ 左半平面的极点全部映射成 $H(z)$ 在 $z$ 平面单位圆内的极点。
  • 有许多方法可以实现满足这两个要求的映射，本章介绍其中两种常用的方法：脉冲响应不变法和双线性变换法

脉冲响应不变法（IIR）

脉冲响应不变法是从时域的角度出发进行映射的，映射的依据是使离散时间滤波器的单位脉冲响应 $h[n]$ 为原型连续时间滤波器的单位脉冲响应 $h_{\mathrm{c}}(t)$ 的取样，即

$$h[n]=\left.T_{\mathrm{d}} h_{\mathrm{c}}(t)\right|_{t=n T_{\mathrm{d}}}=T_{\mathrm{d}} h_{c}\left(n T_{\mathrm{d}}\right)$$

其中 $T_{\mathrm{d}}$ 是取样间隔。

系统函数之间的转换方式：首先将连续时间滤波器的系统函数 $H_{\mathrm{c}}(s)$ 展开成部分分式（假设分母阶次高于分子阶次，且只有一阶极点）

$$H_{\mathrm{c}}(s)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{A_{k}}{s-s_{k}}$$

对上式做 $z$ 变换得到离散时间滤波器的系统函数为

$$H(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n}=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{T_{\mathrm{d}} A_{k}}{1-\mathrm{e}^{s_{k} T_{\mathrm{d}}} z^{-1}}$$

如果原型连续时间滤波器因果稳定，也就是说极点 $s_{k}$ 全部位于 $s$ 平面的左半平面，即 $\operatorname{Re}\left\{s_{k}\right\}<0$，则离散时间滤波器的极点的模 $\left|z_{k}\right|=\left|\mathrm{e}^{s_{k} T_{\mathrm{d}}}\right|=\mathrm{e}^{\operatorname{Re}\left|s_{k}\right| T_{\mathrm{d}}}<1$，即极点全部位于单位圆内，仍然是因果稳定的系统。可见脉冲响应不变法符合前面提到的系统函数的映射需要满足的第二个要求。

当 $h[n]=T_{\mathrm{d}} h_{c}\left(n T_{\mathrm{d}}\right)$ 时，离散时间系统的频率响应 $H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ 是连续时间滤波器的频率响应 $H_{\mathrm{c}} (\mathrm{j} \Omega)$ 的周期性延拓，即

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.\sum_{r=-\infty}^{\infty} H_{\mathrm{c}}\left(\mathrm{j} \Omega+\mathrm{j} 2 \pi r / T_{\mathrm{d}}\right)\right|_{\Omega=\omega / T_{\mathrm{d}}}$$

但是如果 $H_{c}(\mathrm{j} \Omega)$ 的高频部分快速趋近于零时，混叠很小可以忽略，可以认为下式成立：

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H_{\mathrm{c}}(\mathrm{j} \Omega)\right|_{\Omega=\omega / T_{\mathrm{d}}},|\omega| \leqslant \pi$$

所以离散时间滤波器保留了连续时间滤波器的频响特征。所以脉冲响应不变法也满足前面提到的第一个要求。
离散时间滤波器与原型连续时间滤波器的频率响应的自变量之间的映射关系是

$$\Omega=\omega / T_{\mathrm{d}}$$

综上所述，脉冲响应不变法的特点是：由于离散时间滤波器的单位脉冲响应是连续时间滤波器的单位脉冲响应的取样，所以二者的频率是线性映射关系，频率响应的形状保持不变，但会有混叠。该方法的应用只限于带限滤波器即低通和带通滤波器的设计，应用于高通或带阻滤波器设计时会产生严重的频响混叠。

双线性变换法（IIR）

双线性变换法可以克服脉冲响应不变法的频响混叠现象。

设计思想

该方法从频域的角度出发进行映射，映射的依据是直接使离散时间滤波器的频率响应是原型连续时间滤波器频率响应的逼近。映射过程中，s 平面的整个虚轴非线性一对一地映射到 z 平面的单位圆上。

系统函数的转换方法

从 $s$ 平面到 $z$ 平面的映射由如下的代数变换实现：

$$s=\frac{2}{T_{\mathrm{d}}} \cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

其中，$T_{\mathrm{d}}$ 为一般常数。也就是说，离散时间滤波器的系统函数可通过下式从原型连续时间滤波器的系统函数变换得到

$$H(z)=H_{\mathrm{c}}\left(\frac{2}{T_{\mathrm{d}}} \cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\right)$$

因果稳定性

将 $s=\sigma+\mathrm{j} \Omega$ 代入式映射关系式得到

$$z=\frac{\left(2 / T_{\mathrm{d}}\right)+\sigma+\mathrm{j} \Omega}{\left(2 / T_{\mathrm{d}}\right)-\sigma-\mathrm{j} \Omega}$$

从上式可以看出，当 $\sigma<0$ 时，$|z|<1$，表示 $s$ 左半平面的所有点（包括极点）都映射到 $z$ 平面的单位圆内，所以如果原型连续时间滤波器因果稳定，则离散时间滤波器也一定是因果稳定的。

频率响应的映射特点

从式上式还可看出，当 $\sigma=0$ 时，$|z|=1$，即 $s$ 平面的虚轴映射到 $z$ 平面的单位圆上。所以可以将 $s=\mathrm{j} \Omega$ 和 $z=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}$ 代入映射关系式，有

$$\begin{aligned} \mathrm{j} \Omega=\frac{2}{T_{\mathrm{d}}} \cdot \frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}}{1+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}} & =\frac{2}{T_{\mathrm{d}}} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega / 2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega / 2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega / 2}\right)}{\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega / 2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega / 2}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega / 2}\right)} \\ & =\frac{2}{T_{\mathrm{d}}} \cdot \mathrm{j} \tan \left(\frac{\omega}{2}\right) \end{aligned}$$

得到频率的映射关系为

$$\Omega=\frac{2}{T_{\mathrm{d}}} \tan \frac{\omega}{2}$$

因此频率响应的映射关系为

$$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H_{\mathrm{c}}(\mathrm{j} \Omega)\right|_{\Omega=\left(2 / T_{\mathrm{d}}\right) \tan (\omega / 2)}$$

在映射过程中，$-\infty \leqslant \Omega \leqslant \infty$ 的频率范围被非线性压缩后映射到 $-\pi \leqslant \omega \leqslant \pi$ 的频率范围内，即 $s$ 平面的整个虚轴非线性压缩后映射到了 $z$ 平面的单位圆上。由于频率是一对一映射的，所以频率响应的映射没有混叠问题。但是映射时频率轴和频率响应都发生了非线性畸变，所以在确定原型连续时间滤波器的技术指标时应对截止频率进行预畸变，以保证双线性变换后得到的离散时间滤波器满足指标要求。

窗函数法（FIR）

（Todo：期末不考）

第九章 离散时间滤波器的实现

信号流图

• 信号流图是由连接节点的有向支路组成的网络
• 在信号流图中，用带箭头的线段表示一条支路
• 支路的两个端点称为节点，一个节点代表一个信号变量，用圆点或圆圈表示
• 支路上的箭头表示信号流动的方向
• 支路上的增益表示输入节点到输出节点的线性变换，其中常数增益表示乘以常数，增益 $z^{-k}$ 表示延迟 $k$ 个样本，增益没有标示则表示传输比为 1 或恒等变换
• 每个节点的变量值等于进入该节点的所有支路的输出变量之和
• 没有流入支路的节点又称源节点
• 仅有流入支路的节点又称汇节点。
• LTI 系统的三种基本运算，即加法、乘法和延迟一个样本运算采用下图所示的流图表示。

信号流图转置定理：对于单输入/输出系统，将流图中所有支路的方向颠倒，但保持支路增益不变，并将源节点和汇节点互换，则所得流图与原流图具有相同的系统函数

IIR滤波器的基本实现结构

设 IIR 系统具有如下有理系统函数

$$H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^{N} a_{k} z^{-k}}$$

对应的差分方程是

$$y[n]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k]+\sum_{k=1}^{N} a_{k} y[n-k]$$

将系统函数表示成两个子系统函数的乘积，即

$$H(z)=H_{1}(z) H_{2}(z)$$

其中

$$\begin{array}{c} H_{1}(z)=\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k} \\ H_{2}(z)=\frac{1}{1-\sum_{k=1}^{N} a_{k} z^{-k}} \end{array}$$

直接Ⅰ型

令

$$\begin{array}{l} V(z)=X(z) H_{1}(z) \\ Y(z)=V(z) H_{2}(z) \end{array}$$

写出两个子系统的差分方程如下

$$\begin{array}{c} v[n]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k] \\ y[n]=v[n]+\sum_{k=1}^{N} a_{k} y[n-k] \end{array}$$

采用直接Ⅰ型结构实现，需要存储 $M+N+1$ 个系数，$M$ 个以前的输入样本，$N$ 个以前的输出样本。也就是说系数除外，需要 $M+N$ 个存储单元（或称延迟），需要做 $M+N+1$ 次乘法运算和 $M+N$ 次加法运算。

直接Ⅱ型

令

$$\begin{array}{l} W(z)=X(z) H_{2}(z) \\ Y(z)=W(z) H_{1}(z) \end{array}$$

写出两个子系统的差分方程如下

$$\begin{array}{c} w[n]=x[n]+\sum_{k=1}^{N} a_{k} w[n-k] \\ y[n]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} w[n-k] \end{array}$$

直接Ⅱ型结构的延迟最小，延迟单元数是 $M$ 和 $N$ 的最大值。这种具有最小延迟单元数的实现结构通常称为典范型结构。
直接型实现结构的优点是简单直观，缺点是对有限字长效应敏感。即当采用有限位二进制数近似表示系统中的系数和变量时造成的偏差大。

级联型

将系统函数 $H(z)$ 分解成若干个二阶子系统的级联（假设 $M \leqslant N$）

$$H(z)=b_{0} \prod_{k=1}^{\lceil N / 2\rceil} H_{k}(z)=b_{0} \prod_{k=1}^{\lceil N/ 2\rceil} \frac{1+b_{1 k} z^{-1}+b_{2 k} z^{-2}}{1-a_{1 k} z^{-1}-a_{2 k} z^{-2}}$$

其中各系数均为实数，$\lceil N / 2\rceil$ 是大于等于 $N / 2$ 的最小整数。

分解的具体方法是：

• $H(z)$ 的互为共轭的复数零点两两配对，实数零点任意两两配对，形成二阶因子 $\left(1+b_{1 k} z^{-1}+b_{2 k} z^{-2}\right)$
• $H(z)$ 的互为共轭的复数极点两两配对，实数极点任意两两配对，形成二阶因子 $\left(1-a_{1 k} z^{-1}-a_{2 k} z^{-2}\right)$
• 上述二阶因子又可以任意两两配对，形成二阶 IIR 子系统的系统函数 $H_{k}(z)$。这样分解的目的是使各系数均为实数，并且形式统一。
• 如果 $H(z)$ 极点（或零点）的个数是奇数，则其中有一个 $a_{2 k}$（或 $b_{2 k}$）为零
• 如果 $M<N$，则某些 $b_{1 k}$ 和 $b_{2 k}$ 为零
• 如果 $M>N$，则某些 $a_{1 k}$ 和 $a_{2 k}$ 为零，即有若干个子系统是 FIR 系统。

级联型结构的优点是：

• 硬件实现中，可采用一个二阶环分时复用
• 软件实现中，可以调用同一个子函数
• 对有限字长的敏感程度比直接型低，易于通过调整子系统（即整个系统）的零点和极点，来达到调整系统的频率响应的目的。不同的配对方式具有不同的有限字长敏感程度。

并联型

将系统函数 $H(z)$ 分解成部分分式形式（假设 $M \geqslant N$）

$$H(z)=\sum_{k=0}^{M-N} c_{k} z^{-k}+\sum_{k=1}^{\lceil N / 2\rceil} \frac{d_{0 k}+d_{1 k} z^{-1}}{1-a_{1 k} z^{-1}-a_{2 k} z^{-2}}$$

其中，系数均为实数。如果 $M<N$，则不包括第一项 FIR 子系统。极点的配对方式与级联结构相同。

并联型结构的优点是：硬件实现时，各子系统可以并行实现，速度快。缺点是不易调整整个系统的零点，不适用于对零点位置精度要求高的滤波器，例如点阻滤波器和窄带带阻滤波器。

FIR滤波器的基本实现结构

设 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应是 $h[n],n=0,1,\cdots,M$，则系统函数是

$$H(z)=\sum_{k=0}^{M} h[k] z^{-k}$$

对应的差分方程，即卷积和式为

$$y[n]=\sum_{k=0}^{M} h[k] x[n-k]$$

直接型

直接型又称横向结构，它其实就是 IIR 滤波器直接Ⅰ型的左半部分。

级联型

将系统函数 $H(z)$ 分解成若干个二阶子系统的级联

$$H(z)=\sum_{k=0}^{M} h[k] z^{-k}=h[0] \prod_{k=1}^{\lceil M / 2\rceil}\left(1+b_{1 k} z^{-1}+b_{2 k} z^{-2}\right)$$

其中系数均为实数，$\lceil M / 2\rceil$ 是大于等于 $(M / 2)$ 的最小整数。零点的配对方式与 $IIR$ 系统级联结构相同。若 $M$ 为奇数，$H(z)$ 有奇数个零点，所以其中某个 $b_{2 k}$ 或 $b_{2 k}^{\prime}$ 为零。

线性相位型

对于广义线性相位 FIR 系统，单位脉冲响应具有如下的对称性

$$h[n]=h[M-n],n=0,1,\cdots,M$$

或

$$h[n]=-h[M-n],n=0,1,\cdots,M$$

第Ⅰ类 FIR 系统，利用对称性，差分方程可以变换成

$$y[n]=\sum_{k=0}^{M / 2-1} h[k](x[n-k]+x[n-M+k])+h\left[\frac{M}{2}\right] x[n-M / 2]$$

第Ⅱ类 FIR 系统的差分方程可以变换成

$$y[n]=\sum_{k=0}^{(M-1) / 2} h[k](x[n-k]+x[n-M+k])$$

第Ⅲ类 FIR 系统的差分方程可以变换成

$$y[n]=\sum_{k=0}^{M / 2-1} h[k](x[n-k]-x[n-M+k])$$

第Ⅳ类 FIR 系统的差分方程可以变换成

$$y=\sum_{k=0}^{(M-1) / 2} h[k](x[n-k]-x[n-M+k])$$